Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:convexe [2018/04/03 23:09] – Alain Guichet
+++ math:2:convexe [2020/05/10 21:19] (Version actuelle) – modification externe 127.0.0.1
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+^ [[:math:2:index#etudes_fonctions_numeriques|Fct num > ]] | [[:math:2:application|Fct/Appl]] | [[:math:2:limite|Limites]] | [[:math:2:asymptote|Asymptote]] | [[:math:2:continuite|Continuité]] | [[:math:2:derive|Dérivabilité]] | [[:math:2:convexe|Convexité]] |
+====== Convexité ou concavité sur un intervalle ======
+<box 100% green round | **Définition**>
+  * On dit qu'une fonction $f$ est **convexe** sur $I$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall(x,y)\in I^{2},\;\forall\lambda\in[0,1],\; f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leqslant\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$
+  * On dit que $f$ est **concave** sur $I$ si et seulement si $-f$ est convexe sur $I$ c'est à dire si et seulement si:\\ $$\ds\forall(x,y)\in I^{2},\;\forall\lambda\in[0,1],\; f(\lambda x+(1-\lambda)y)\geqslant\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$
+  * On appelle **point d'inflexion** de $\mathcal{C}_{f}$ tout point $(x_{I},f(x_{I}))$ en lequel $f$ est convexe (resp. concave) sur $\left]x_{I}-\alpha,x_{I}\right]$ et concave (resp. convexe) sur $\left[x_{I},x_{I}+\alpha\right[$ pour un certain réel $\alpha>0$.
+</box>
+__**Remarques : Interprétation graphique**__\\
+  * La fonction $f$ est convexe (resp. concave) sur $I$ si et seulement si la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au-dessous (resp. au-dessus) de n'importe laquelle de ses cordes sur le segment délimité par la corde en question, une corde étant un segment d'extrémité $A\left(x_{A},f(x_{A})\right)$ et $B\left(x_{B},f(x_{B})\right)$ où $(x_{A},x_{B})\in I^{2}$.
+  * Regarder comment est positionnée une corde qui passe par un point d'inflexion.
+<html><a name="inegalite_convexite_generalisee"></a></html>
+<box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:inegalite_convexite_generalisee|Généralisation de l'inégalité de convexité]]**>
+On suppose que $f$ est convexe sur $I$. Alors :\\ $$\ds\forall n\in\N^{*},\forall(x_{1},\dots,x_{n})\in I^{n},\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in[0,1]^{n},$$$$\ds\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}=1\;\implies\;\ f(\lambda_{1}x_{1}+\dots+\lambda_{n}x_{n})\leqslant\lambda_{1}f(x_{1})+\dots+\lambda_{n}f(x_{n})$$
+</box>
+<html><a name="convexite_classe_c1"></a></html>
+<box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:convexite_classe_c1|Convexité et classe C^1]]**>
+On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Alors :
+  * $f$ est convexe (resp. concave) sur $I$ si et seulement si $f'$ est croissante (resp. décroissante) sur $I$,
+  * $\mathcal{C}_{f}$ admet un point d'inflexion en $(x_{I},f(x_{I}))$ si et seulement si $f'$ est croissante (resp. décroissante) avant $x_{I}$ et décroissante (resp. croissante).
+</box>
+__**Remarques : Interprétation graphique**__\\
+  * La fonction $f$ est convexe (resp. concave) sur $I$ si et seulement si la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au-dessus (resp. au-dessous) de n'importe laquelle de ses tangente sur tout le domaine $I$.
+  * Regarder comment est positionnée une tangente en un point d'inflexion.
+<box 100% red round | **Théorème**>
+On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $I$. Alors :
+  * $f$ est convexe (resp. concave) sur $I$ si et seulement si $f''$ est positive (resp. négative) sur $I$,
+  * $\mathcal{C}_{f}$ admet un point d'inflexion en $(x_{I},f(x_{I}))$ si et seulement si $f''$ est positive (resp. négative) avant $x_{I}$, négative (resp. positive) après $x_{I}$ et $f''(x_{I})=0$.
+</box>
+__**Remarque**__\\
+Il convient de noter que l'hypothèse $\mathcal{C}^1$ peut sembler superflue au premier abord puisqu'on a l'impression que l'on pourrait se contenter de l'hypothèse dérivable mais un théorème permet de montrer qu'une fonction convexe et dérivable sur un intervalle est nécessairement de classe $\mathcal{C}^1$ sur cet intervalle !
+^ [[:math:2:index#etudes_fonctions_numeriques|Fct num > ]] | [[:math:2:application|Fct/Appl]] | [[:math:2:limite|Limites]] | [[:math:2:asymptote|Asymptote]] | [[:math:2:continuite|Continuité]] | [[:math:2:derive|Dérivabilité]] | [[:math:2:convexe|Convexité]] |