Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:convergence_en_loi [2020/05/25 11:22] – Alain Guichet
+++ math:2:convergence_en_loi [2023/02/04 12:03] (Version actuelle) – [Théorème de la limite centrée et nouvelles approximations] Alain Guichet
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 <box 100% red round | **Théorème : Lien entre les deux notions de convergence** (HP)>
-Si $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{P}}X$ alors $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$. La réciproque est fausse.
+Si $X_{n}\xrightarrow{\mathbb{P}}X$ alors $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$. La réciproque est fausse.
 </box>
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 <box 100% red round | **Théorème : Théorème de Slutsky** (admis)>
-Si $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$ et $Y_{n}\xrightarrow{\mathcal{P}}c1\!\!1_{\Omega}$ (convergence en loi pour la première suite, en probabilité pour la seconde) alors :\\ $$\ds X_{n}+Y_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X+c\qquad\text{et}\qquad X_{n}Y_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}cX$$
+Si $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$ et $Y_{n}\xrightarrow{\mathcal{P}}c1\!\!1_{\Omega}$  (convergence en loi pour la première suite, en probabilité pour la seconde) alors :\\ $$\ds X_{n}+Y_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X+c$$et :\\ $$\ds X_{n}Y_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}cX$$
 </box>
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 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:theoreme_limite_centree|Théorème de la limite centrée]]** (admis, "preuve" dans un cas particulier)>
-On suppose que les $X_{n}$ sont mutuellement indépendantes, admettent la même loi et que cette loi admet une espérance $m$ et une variance $\sigma^{2}$ non nulle ($\sigma>0$). Soit $X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$ de fonction de répartition $\Phi$. On pose : $$\ds\forall n\in\N^{*},\;\bar{X}_{n}=\frac{1}{n}\left(X_{1}+\dots+X_{n}\right)$$ $$\ds\bar{X}_{n}^{*}=\sqrt{n}\frac{\bar{X}_{n}-m}{\sigma}$$ Alors, la suite $\ds\left(\bar{X}_{n}^{*}\right)_{n\geqslant1}$ converge en loi vers la variable aléatoire $X$. Autrement dit, on a : $$\ds\forall x\in\R,\;\lim_{n\to+\infty}{F_{\bar{X}_{n}^{*}}(x)}=\Phi(x)$$ $$\ds\forall(a,b)\in\R^{2},\quad a<b\;\implies\;\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}\left(a\leqslant\bar{X}_{n}^{*}\leqslant b\right)}=\Phi(b)-\Phi(a)=\int_{a}^{b}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}}\mathrm{d} t}$$
+On suppose que les $X_{n}$ sont mutuellement indépendantes, admettent la même loi et que cette loi admet une espérance $m$ et une variance $\sigma^{2}$ non nulle ($\sigma>0$). Soit $X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$ de fonction de répartition $\Phi$. On pose : $$\ds\forall n\in\N^{*},\;\bar{X}_{n}=\frac{1}{n}\left(X_{1}+\dots+X_{n}\right)$$ $$\ds\bar{X}_{n}^{*}=\sqrt{n}\frac{\bar{X}_{n}-m}{\sigma}$$ Alors, la suite $\ds\left(\bar{X}_{n}^{*}\right)_{n\geqslant1}$ converge en loi vers la variable aléatoire $X$. Autrement dit, on a : $$\ds\forall x\in\R,\;\lim_{n\to+\infty}{F_{\bar{X}_{n}^{*}}(x)}=\Phi(x)$$ ou encore, pour tout couple $(a,b)$ de réels tel que $a<b$, on a :\\ $$\ds \lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}\left(a\leqslant\bar{X}_{n}^{*}\leqslant b\right)}=\Phi(b)-\Phi(a)=\int_{a}^{b}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}}\mathrm{d} t}$$
 </box>
+<code python>
+# Loi faible des grands nombres et théorème central limite
+# sur une suite de variables de Bernoulli iid
+import numpy as np ; import numpy.random as rd
+import matplotlib.pyplot as plt
+p=0.4 ; N=10**5 ; K=np.arange(1,5) ; a=np.size(K)
+for k in K :
+    n=10**k ; X=rd.binomial(1,p,size=(N,n))
+    Xbarre=np.mean(X,axis=1)
+    plt.subplot(a,2,2*k-1) ; plt.hist(Xbarre,np.arange(0,1,0.005))
+    XbarreEtoile=(Xbarre-p)/np.sqrt(p*(1-p))*np.sqrt(n)
+    x=np.arange(-3,3,0.01)
+    plt.subplot(a,2,2*k) ; plt.hist(XbarreEtoile,x)
+plt.show()
+</code>
 <code scilab>
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 {{ :math:2:cours:tlc_n_egal_100.png?nolink |}}
+<code scilab>
+// comparatif de convergence entre
+// - loi faible des grands nombres (bleu) --> valeur de la limite
+// - théorème de la limite centrée (rouge) --> étalement des résultats autour de la limite
+// pour une même suite de loi exponentielles de paramètre 1
+N=1d4 ; nmax=1d3 ; m=1 ; s=1
+X=grand(N,nmax,"exp",m)
+liste_n=[5,10,20,50,100,nmax]
+r=length(liste_n)
+for i=1:r
+    n=liste_n(i)
+    Z=mean(X(:,1:n),'c')
+    Y=(Z-m)/s*sqrt(n)
+    subplot(2,r,i)
+    histplot([-5:0.01:5],Y,5,leg="X"+string(n)+"Barre*")
+    subplot(2,r,i+r)
+    histplot([-5:0.01:5],Z,2,leg="X"+string(n)+"Barre")
+end
+</code>
+{{ :math:2:cours:lfgn_et_tlc.pdf |Document image}}
+{{ :math:2:cours:lfgn_et_tlc.png?nolink |}}
 __**Exemples**__