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| math:2:continuite_classe_c1 [2015/01/06 00:00] – Alain Guichet | math:2:continuite_classe_c1 [2020/05/10 21:19] (Version actuelle) – modification externe 127.0.0.1 |
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| __**Exemples**__ | __**Exemples**__ |
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| - Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_{n}(\R)$, $B$ une matrice colonne de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et $c$ un réel. Pour ${}^t\!X=\begin{pmatrix} x_{1} & \dots & x_{n} \end{pmatrix}$, on pose :\\ $$\ds f(x_{1},\dots,x_{n})={}^t\!XAX+{}^t\!XB+c$$Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ et préciser $\nabla f(x_{1},\dots,x_{n})$. | - Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_{n}(\R)$, $B$ une matrice colonne de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et $c$ un réel. Pour ${}^t\!X=\begin{pmatrix} x_{1} & \dots & x_{n} \end{pmatrix}$, on pose :\\ $$\ds f(x_{1},\dots,x_{n})={}^t\!XAX+{}^t\!XB+c$$ |
| | - Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. |
| | - Montrer que :\\ $$f(X+H)-f(X)={}^tH(2AX+B+AH)$$ |
| | - En déduire que :\\ $$\nabla f(x_{1},\dots,x_{n})=2AX+B$$ |
| - Montrer que la fonction $(x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{3}\setminus\{(0,0,0)\}$. | - Montrer que la fonction $(x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{3}\setminus\{(0,0,0)\}$. |
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