Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:continuite_classe_c1 [2015/01/05 17:25] – Alain Guichet
+++ math:2:continuite_classe_c1 [2016/01/12 11:37] – Alain Guichet
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-^ **[[:math:2:index#chapitre_15|Fonctions sur ouvert de R^n > ]]** | [[:math:2:topologie_r_n|Topologie R^n]] | [[:math:2:continuite_classe_c1|C^0 / C^1 sur ouvert de R^n]] | [[:math:2:fonction_classe_c2|Classe C^2 sur ouvert de R^n]] | [[:math:2:derivee_seconde_directionnelle|Dérivée seconde direct]] |
+^ **[[:math:2:index#fonctions_sur_partie_r_n|Fonctions sur ouvert de R^n > ]]** | [[:math:2:topologie_r_n|Topologie R^n]] | [[:math:2:continuite_classe_c1|C^0 / C^1 sur ouvert de R^n]] | [[:math:2:fonction_classe_c2|Classe C^2 sur ouvert de R^n]] | [[:math:2:derivee_seconde_directionnelle|Dérivée seconde direct]] |
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-\begin{defi}
+<box 100% green round | **Définition**>
-Soit \mathcal{U}
+Soit $\mathcal{U}$ une partie de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{U}\to\R$.
-  une partie de \R^{n}
- . Soit f\colon\mathcal{U}\to\R
- .
-• Soit A
+  * Soit $A$ un point de $\mathcal{U}$. On dit que $f$ est **continue** en $A$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall M\in\mathcal{U},\; AM=\|\vv{AM}\|\leqslant\alpha\;\implies\;\left|f(M)-f(A)\right|\leqslant\varepsilon$$
-  un point de \mathcal{U}
+  * On dit que $f$ est **continue** sur $\mathcal{U}$ si et seulement si elle est continue en tout point $A$ de $\mathcal{U}$.
- . On dit que f
-  est continue en A
-  si et seulement si:\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall M\in\mathcal{U},\; AM=\|\vv{AM}\|\leqslant\alpha\;\implies\;\left|f(M)-f(A)\right|\leqslant\varepsilon
-• On dit que f
+</box>
-  est continue sur \mathcal{U}
-  si et seulement si elle est continue en tout point A
-  de \mathcal{U}
- .
-\end{defi}
-\begin{theo}
+<box 100% red round | **Théorème**>
-Soit f
+Soit $f$ et $g$ définies sur $\mathcal{U}$ à valeurs dans $\R$. Soit $\lambda\in\R$. Soit $\varphi\colon I\to\R$ où $I$ est un intervalle de $\R$ contenant $f(\mathcal{U})$.
-  et g
+  * Si $f$ et $g$ sont continues sur $\mathcal{U}$ alors $f+g$, $\lambda f$ et $fg$ sont continues sur $\mathcal{U}$.
-  définies sur \mathcal{U}
+  * Si $f$ est continue sur $\mathcal{U}$ et si $\varphi$ est continue sur $I$ alors $\varphi\circ f$ est continue sur $\mathcal{U}$.\\ En particulier, si $f$ et $g$ sont continues sur $\mathcal{U}$ et si $g$ ne s'annule pas sur $\mathcal{U}$ alors $\ds\frac{1}{g}$ et $\ds\frac{f}{g}$ sont continues sur $\mathcal{U}$.
-  à valeurs dans \R
- . Soit \lambda\in\R
- . Soit \varphi\colon I\to\R
-  où I
-  est un intervalle de \R
-  contenant f(\mathcal{U})
- .
-• Si f
+</box>
-  et g
-  sont continues sur \mathcal{U}
-  alors f+g
- , \lambda f
-  et fg
-  sont continues sur \mathcal{U}
- .
-• Si f
-  est continue sur \mathcal{U}
-  et si \varphi
-  est continue sur I
-  alors \varphi\circ f
-  est continue sur \mathcal{U}
- .En particulier, si f
-  et g
-  sont continues sur \mathcal{U}
-  et si g
-  ne s'annule pas sur \mathcal{U}
-  alors \frac{1}{g}
-  et \frac{f}{g}
-  sont continues sur \mathcal{U}
- .
-\end{theo}
+__**Exemple**__
+Justifier que $\ds f\colon(x,y)\mapsto\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ est continue sur $\R^{2}\setminus\{(0,0)\}$.
-\begin{ex}
-Justifier que f\colon(x,y)\mapsto\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
-  est continue sur \R^{2}\setminus\{(0,0)\}
- .
-\end{ex}
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-\begin{defi}
+<box 100% green round | **Définition**>
-Soit \mathcal{O}
+Soit $\mathcal{O}$ une partie ouverte de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$.
-  une partie ouverte de \R^{n}
- . Soit f\colon\mathcal{O}\to\R
- .
-• Soit A(a_{1},\dots,a_{n})
+  * Soit $A(a_{1},\dots,a_{n})$ un point de $\mathcal{O}$.
-  un point de \mathcal{O}
+    * Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$. On dit que $f$ admet une **dérivée partielle d'ordre 1** par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ si et seulement si la fonction $t\mapsto f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})$ est dérivable en $a_{i}$ (notation : $\partial_{i}(f)(A)$).
- .
+    * Lorsque $f$ admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point $A$, on appelle **gradient** de $f$ au point $A$ le vecteur de $\R^{n}$ :\\ $$\ds\nabla f(A)=\begin{pmatrix} \partial_{1}(f)(A) \\ \vdots \\ \partial_{n}(f)(A) \end{pmatrix}$$
+    * On suppose que $f$ admet un gradient en $A$. On dit que $f$ admet un **développement limité à l'ordre 1** au voisinage de $A$ si et seulement si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée :\\ $$\ds f(A+H)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{OH}\right\rangle +\|\vv{OH}\|\varepsilon\left(H\right)\qquad\text{avec}\;\varepsilon(O)=0\;\text{et}\;\varepsilon\text{ continue en }O$$$$\ds f(M)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{AM}\right\rangle +\|\vv{AM}\|\varepsilon\left(M\right)\qquad\text{avec}\;\varepsilon(A)=0\;\text{et}\;\varepsilon\text{ continue en }A$$
+  * Lorsque $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la $i$-ème variable en tout point de $\mathcal{O}$, on appelle **fonction dérivée partielle** de $f$ sur $\mathcal{O}$ par rapport à la $i$-ème variable la fonction $\partial_{i}(f)\colon A\mapsto\partial_{i}(f)(A)$.
+  * On dit que $f$ est de **classe** $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si toutes les fonctions $\partial_{i}(f)$ sont définies et continues sur $\mathcal{O}$.
-– Soit i\in\llbracket1,n\rrbracket
+</box>
- . On dit que f
-  admet une dérivée partielleDérivée partielle d'ordre 1 par rapport à la \boldsymbol{i}
- -ème variable au point \boldsymbol{A}
-  si et seulement si la fonction t\mapsto f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})
-  est dérivable en a_{i}
-  (notation: \partial_{i}(f)(A)
- ).
-– Lorsque f
-  admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point A
- , on appelle gradientGradient\nabla
-  de \boldsymbol{f}
-  au point \boldsymbol{A}
-  le vecteur de \R^{n}
- : \nabla f(A)=\begin{pmatrix}\partial_{1}(f)(A)\\
-\vdots\\
-\partial_{n}(f)(A)
-\end{pmatrix}
- .
-– On suppose que f
+__**Remarques**__
-  admet un gradient en A
- . On dit que f
-  admet un développementDéveloppement limité limité à l'ordre \boldsymbol{1}
-  au voisinage de \boldsymbol{A}
-  si et seulement si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée:f(A+H)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{OH}\right\rangle +\|\vv{OH}\|\varepsilon\left(H\right)\qquad\text{avec}\;\varepsilon(O)=0\;\text{et}\;\varepsilon\text{ continue en }O
- f(M)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{AM}\right\rangle +\|\vv{AM}\|\varepsilon\left(M\right)\qquad\text{avec}\;\varepsilon(A)=0\;\text{et}\;\varepsilon\text{ continue en }A
-• Lorsque f
+  * Lorsqu'il existe, le réel $\partial_{i}(f)(A)$ est la pente de la tangente en $A$ du chemin sur la surface représentative de $f$ dans la direction de l'axe de coordonné numéro $i$.
-  admet des dérivées partielles par rapport à la i
+  * Si $f$ admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable alors elle n'est pas nécessairement continue sur $\mathcal{O}$.
- -ème variable en tout point de \mathcal{O}
+  * Si $f$ admet une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable sur $\mathcal{O}$ alors elle n'admet pas nécessairement de dérivée partielle par rapport à la $j$-ème variable sur $\mathcal{O}$.
- , on appelle fonction dérivée partielleFonction dérivée partielle de \boldsymbol{f}
-  sur \boldsymbol{\mathcal{O}}
-  par rapport à la \boldsymbol{i}
- -ème variable la fonction \partial_{i}(f)\colon A\mapsto\partial_{i}(f)(A)
- .
-• On dit que f
-  est de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^{1}}
-  sur \mathcal{O}
-  si et seulement si toutes les fonctions \partial_{i}(f)
-  sont définies et continues sur \mathcal{O}
- .
-\end{defi}
+<box 100% red round | **Théorème**>
-\begin{rems}
+Soit $f$ et $g$ définies sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$ et à valeurs dans $\R$.
-• Lorsqu'il existe, \partial_{i}(f)(A)
+  * Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$ et $\varphi$ une fonction définie et dérivable (resp. de classe $\mathcal{C}^{1}$) sur un intervalle $I$ de $\R$ qui contient $f(\mathcal{U})$. Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$. Si $f$ et $g$ admettent une fonction dérivée partielle par rapport la $i$-ème variable (resp. sont de classe $\mathcal{C}^{1}$) sur $\mathcal{O}$ alors $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\ds\frac{f}{g}$ (dans le cas où $g$ ne s'annule pas sur $\mathcal{O}$) et $\varphi\circ f$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable (resp. sont de classe $\mathcal{C}^{1}$) sur $\mathcal{O}$ et on a :\\ $$\ds\partial_{i}(\lambda f+\mu g)=\lambda\partial_{i}(f)+\mu\partial_{i}(g)$$$$\ds\partial_{i}(f\times g)=\partial_{i}(f)\times g+f\times\partial_{i}(g)$$$$\ds\partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\partial_{i}(f)\times g-f\times\partial_{i}(g)}{g^{2}}$$$$\partial_{i}(\varphi\circ f)=\partial_{i}(f)\times\varphi'\circ f$$
-  est la pente de la tangente en A
+  * Lorsqu'il existe, le développement limité à l'ordre 1 de $f$ en un point de $\mathcal{O}$ est unique.
-  du chemin sur la surface représentative de f
+  * Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ alors elle admet un développement limité à l'ordre 1 en tout point de $\mathcal{O}$.
-  dans la direction de l'axe de coordonné numéro i
+  * Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ alors elle est continue sur $\mathcal{O}$.
- .
-• Si f
+</box>
-  admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable alors elle n'est pas nécessairement continue sur \mathcal{O}
- .
-• Si f
-  admet une dérivée partielle par rapport à la i
- -ème variable sur \mathcal{O}
-  alors elle n'admet pas nécessairement de dérivée partielle par rapport à la j
- -ème variable sur \mathcal{O}
- .
-\end{rems}
+__**Remarque**__
-\begin{theo}
-Soit f
-  et g
-  définies sur un ouvert \mathcal{O}
-  de \R^{n}
-  et à valeurs dans \R
- .
-• Soit (\lambda,\mu)\in\R^{2}
-  et \varphi
-  une fonction définie et dérivable (resp. de classe \mathcal{C}^{1}
- ) sur un intervalle I
-  de \R
-  qui contient f(\mathcal{U})
- . Soit i\in\llbracket1,n\rrbracket
- . Si f
-  et g
-  admettent une fonction dérivée partielle par rapport la i
- -ème variable (resp. sont de classe \mathcal{C}^{1}
- ) sur \mathcal{O}
-  alors \lambda f+\mu g
- , f\times g
- , \frac{f}{g}
-  (dans le cas où g
-  ne s'annule pas sur \mathcal{O}
- ) et \varphi\circ f
-  admettent une dérivée partielle par rapport à la i
- -ème variable (resp. sont de classe \mathcal{C}^{1}
- ) sur \mathcal{O}
-  et on a:\partial_{i}(\lambda f+\mu g)=\lambda\partial_{i}(f)+\mu\partial_{i}(g)\qquad\partial_{i}(f\times g)=\partial_{i}(f)\times g+f\times\partial_{i}(g)
- \partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\partial_{i}(f)\times g-f\times\partial_{i}(g)}{g^{2}}\qquad\partial_{i}(\varphi\circ f)=\partial_{i}(f)\times\varphi'\circ f
-• Lorsqu'il existe, le développement limité à l'ordre 1
-  de f
-  en un point de \mathcal{O}
-  est unique.
-• Si f
-  est de classe \mathcal{C}^{1}
-  sur \mathcal{O}
-  alors elle admet un développement limité à l'ordre 1
-  en tout point de \mathcal{O}
- .
-• Si f
-  est de classe \mathcal{C}^{1}
-  sur \mathcal{O}
-  alors elle est continue sur \mathcal{O}
- .
-\end{theo}
-\begin{rem}
 L'existence d'un développement limité est plus contraignante que l'existence du gradient puisque dans le premier cas, on est assuré de la continuité alors que dans le second cas, on n'a aucune assurance.
-\end{rem}
-\begin{exs}
-. Soit A
+__**Exemples**__
-  une matrice symétrique de \mathcal{M}_{n}(\R)
- , B
-  une matrice colonne de \mathcal{M}_{n,1}(\R)
-  et c
-  un réel. Pour \trans{X}=\begin{pmatrix}x_{1} & \dots & x_{n}\end{pmatrix}
- , on pose: f(x_{1},\dots,x_{n})=\trans{X}AX+\trans{X}B+c
- . Justifier que f
-  est de classe \mathcal{C}^{1}
-  sur \R^{n}
-  et préciser \nabla f(x_{1},\dots,x_{n})
- .
-. Montrer que la fonction (x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})
+  - Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_{n}(\R)$, $B$ une matrice colonne de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et $c$ un réel. Pour ${}^t\!X=\begin{pmatrix} x_{1} & \dots & x_{n} \end{pmatrix}$, on pose :\\ $$\ds f(x_{1},\dots,x_{n})={}^t\!XAX+{}^t\!XB+c$$
-  admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur \R^{3}\setminus\{(0,0,0)\}
+    - Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$.
- .
+    - Montrer que :\\ $$f(X+H)-f(X)={}^tH(2AX+B+AH)$$
+    - En déduire que :\\ $$\nabla f(x_{1},\dots,x_{n})=2AX+B$$
+  - Montrer que la fonction $(x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{3}\setminus\{(0,0,0)\}$.
-\end{exs}
-^ **[[:math:2:index#chapitre_15|Fonctions sur ouvert de R^n > ]]** | [[:math:2:topologie_r_n|Topologie R^n]] | [[:math:2:continuite_classe_c1|C^0 / C^1 sur ouvert de R^n]] | [[:math:2:fonction_classe_c2|Classe C^2 sur ouvert de R^n]] | [[:math:2:derivee_seconde_directionnelle|Dérivée seconde direct]] |
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