Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:comp_asymp_suite [2019/06/30 10:01] – Alain Guichet
+++ math:2:comp_asymp_suite [2020/05/12 15:49] (Version actuelle) – [Développements limités] Alain Guichet
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 Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite de **//limite nulle//**. On a les développements limités à l'ordre $p\in\N$ suivants :
 $$\ds\ln(1+u_{n})\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{k=1}^{p}{\frac{(-1)^{k-1}u_{n}^{k}}{k}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$
 $$\ds \mathrm{e}^{u_{n}}\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{k=0}^{p}{\frac{u_{n}^{k}}{k!}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$
-$$\ds\forall\alpha\in\R^{*},\;(1+u_{n})^{\alpha}\underset{n\to+\infty}{=}1+\sum_{k=1}^{p}{\frac{\alpha\times(\al-1)\times\dots\times(\alpha-k+1)}{k!}u_{n}^{k}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$
+$$\ds\forall\alpha\in\R^{*},\;(1+u_{n})^{\alpha}\underset{n\to+\infty}{=}1+\sum_{k=1}^{p}{\frac{\alpha\times(\alpha-1)\times\dots\times(\alpha-k+1)}{k!}u_{n}^{k}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$
 $$\ds\sin(u_{n})\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{0\leqslant 2k\leqslant p-1}{\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}u_{n}^{2k+1}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$
 $$\ds\qquad\cos(u_{n})\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{0\leqslant2k\leqslant p}{\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}u_{n}^{2k}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$