| Les deux révisions précédentesRévision précédenteProchaine révision | Révision précédenteDernière révisionLes deux révisions suivantes |
| math:2:changement_de_bases [2019/06/29 11:28] – Links to math:2:demo:changement_bases changed to organisation_2019_2020:math:2:demo:changement_bases Alain Guichet | math:2:changement_de_bases [2020/06/05 10:47] – Alain Guichet |
|---|
| |
| <html><a name="changement_bases"></a></html> | <html><a name="changement_bases"></a></html> |
| <box red round 100% | **Théorème : [[organisation_2019_2020:math:2:demo:changement_bases|Théorème fondamental du changement de base]]**> | <box red round 100% | **Théorème : [[.:demo:changement_bases|Théorème fondamental du changement de base]]**> |
| |
| Soit $u\in\mathcal{L}(E)$, $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$, $A'=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}'}(u)$ et $P=P_{\mathcal{B}_{E},\mathcal{B}_{E}'}$. Alors :\\ $$A'=P^{-1}\times A\times P$$ | Soit $u\in\mathcal{L}(E)$, $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$, $A'=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}'}(u)$ et $P=P_{\mathcal{B}_{E},\mathcal{B}_{E}'}$. Alors :\\ $$A'=P^{-1}\times A\times P$$ |
| __**Exemple**__ | __**Exemple**__ |
| |
| Soit $\mathcal{B}$ la base canonique de $\R^{3}$. On considère les vecteurs de $\R^{3}$ suivant :\\ $$\vv*{e}{1}'=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\qquad\vv*{e}{2}'=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\qquad\vv*{e}{3}'=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ | Soit $\mathcal{B}$ la base canonique de $\R^{3}$. On considère les vecteurs de $\R^{3}$ suivant : $$\vv{e_1}'=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\qquad\vv{e_2}'=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\qquad\vv{e_3}'=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ |
| - | - |
| - Montrer que $\mathcal{B}'=(\vv*{e}{1}',\vv*{e}{2}',\vv*{e}{3}')$ est une base de $\R^{3}$. | - Montrer que $\mathcal{B}'=(\vv{e_1}',\vv{e_2}',\vv{e_3}')$ est une base de $\R^{3}$. |
| - Préciser la matrice $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$. En déduire $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$. | - Préciser la matrice $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$. En déduire $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$. |
| - Soit $p$ l'endomorphisme de $\R^{3}$ défini par :\\ $$p(\vv*{e}{1}')=\vv*{e}{1}'\qquad p(\vv*{e}{2}')=\vv{0}\qquad p(\vv*{e}{3}')=\vv{0}$$Préciser la matrice $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(p)$ puis déterminer la matrice $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(p)$. | - Soit $p$ l'endomorphisme de $\R^{3}$ défini par :\\ $$\ds p(\vv{e_1}')=\vv{e_1}'\qquad p(\vv{e_2}')=\vv{0}\qquad p(\vv{e_3}')=\vv{0}$$ Préciser la matrice $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(p)$ puis déterminer la matrice $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(p)$. |
| |
| |
