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math:2:calcul_integrale_segment

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math:2:calcul_integrale_segment [2019/06/30 09:30]
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math:2:calcul_integrale_segment [2020/05/10 21:19] (Version actuelle)
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 <​html><​a name="​integration_par_parties"></​a></​html>​ <​html><​a name="​integration_par_parties"></​a></​html>​
-<box 100% red round | **Théorème : [[organisation_2019_2020:​public:​:​math:​2:​demo:​integration_par_parties|Intégration par parties]]**>​+<box 100% red round | **Théorème : [[:​math:​2:​demo:​integration_par_parties|Intégration par parties]]**>​
  
 Soit $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Pour tout $(a,b)\in I^{2}$, on a :\\ $$\ds\int_{a}^{b}{u'​(t)v(t)\mathrm{d} t}=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^{b}{u(t)v'​(t)\mathrm{d} t}$$ Soit $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Pour tout $(a,b)\in I^{2}$, on a :\\ $$\ds\int_{a}^{b}{u'​(t)v(t)\mathrm{d} t}=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^{b}{u(t)v'​(t)\mathrm{d} t}$$
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   - Déterminer une primitive de $x\mapsto\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ sur $[-a,a]$ (on pourra poser $t=a\sin(x)$).   - Déterminer une primitive de $x\mapsto\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ sur $[-a,a]$ (on pourra poser $t=a\sin(x)$).
   - On appelle **équation différentielle** toute équation comportant (au moins) la dérivée $y'$ d'une inconnue qui est une fonction $y$ dérivable sur un intervalle $I$. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $I$ c'est déterminer l'​ensemble des fonctions $f$ dérivables sur $I$ qui vérifient cette équation. Par exemple, les solutions sur $\R$ de l'​équation différentielle $y'=0$ sont les fonctions constantes sur $\R$ ; les solutions sur $\R$ de l'​équation différentielle $y'=y$ sont les fonctions $f\colon t\mapsto\lambda\exp(t)$ où $\lambda$ est un réel.   - On appelle **équation différentielle** toute équation comportant (au moins) la dérivée $y'$ d'une inconnue qui est une fonction $y$ dérivable sur un intervalle $I$. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $I$ c'est déterminer l'​ensemble des fonctions $f$ dérivables sur $I$ qui vérifient cette équation. Par exemple, les solutions sur $\R$ de l'​équation différentielle $y'=0$ sont les fonctions constantes sur $\R$ ; les solutions sur $\R$ de l'​équation différentielle $y'=y$ sont les fonctions $f\colon t\mapsto\lambda\exp(t)$ où $\lambda$ est un réel.
-    - Soit $u$ une fonction continue sur $I$. Soit $U$ une primitive de $u$ sur $I$.\\ Montrer que les solutions sur $I$ de l'​équation différentielle $y'​+uy=0$ sont [[organisation_2019_2020:​public:​:​math:​2:​demo:​equation_differentielle|les fonctions de la forme]] :\\ $$\ds\exists K\in\R\;/​\;​\forall t\in I,\; f(t)=K\mathrm{e}^{-U(t)}$$(c'​est le sous-espace vectoriel engendré par la fonction $t\mapsto\mathrm{e}^{-U(t)}$).+    - Soit $u$ une fonction continue sur $I$. Soit $U$ une primitive de $u$ sur $I$.\\ Montrer que les solutions sur $I$ de l'​équation différentielle $y'​+uy=0$ sont [[:​math:​2:​demo:​equation_differentielle|les fonctions de la forme]] :\\ $$\ds\exists K\in\R\;/​\;​\forall t\in I,\; f(t)=K\mathrm{e}^{-U(t)}$$(c'​est le sous-espace vectoriel engendré par la fonction $t\mapsto\mathrm{e}^{-U(t)}$).
     - //​Application 1// : Résoudre sur $]-1,​+\infty[$ l'​équation différentielle $y'​+\ln(x+1)y=0$.     - //​Application 1// : Résoudre sur $]-1,​+\infty[$ l'​équation différentielle $y'​+\ln(x+1)y=0$.
     - //​Application 2// : Équation différentielle du premier ordre avec second membre.     - //​Application 2// : Équation différentielle du premier ordre avec second membre.
math/2/calcul_integrale_segment.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)