Prépa ECG Le Mans, lycée Touchard-Washington

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math:2:calcul_integrale_segment

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math:2:calcul_integrale_segment [2019/06/29 11:40] – Links to math:2:demo:integration_par_parties changed to organisation_2019_2020:public:math:2:demo:integration_par_parties Alain Guichetmath:2:calcul_integrale_segment [2024/02/24 16:52] (Version actuelle) – Alain Guichet
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-<html><a name="integration_par_parties"></a></html> +<box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:integration_par_parties|Intégration par parties]]**>
-<box 100% red round | **Théorème : [[organisation_2019_2020:public::math:2:demo:integration_par_parties|Intégration par parties]]**>+
  
 Soit $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Pour tout $(a,b)\in I^{2}$, on a :\\ $$\ds\int_{a}^{b}{u'(t)v(t)\mathrm{d} t}=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^{b}{u(t)v'(t)\mathrm{d} t}$$ Soit $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Pour tout $(a,b)\in I^{2}$, on a :\\ $$\ds\int_{a}^{b}{u'(t)v(t)\mathrm{d} t}=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^{b}{u(t)v'(t)\mathrm{d} t}$$
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-<html><a name="changement_variable"></a></html> +<box 100% red round | **Théorème : [[.:demo:changement_variable|Changement de variable]]**>
-<box 100% red round | **Théorème : [[organisation_2019_2020:math:2:demo:changement_variable|Changement de variable]]**>+
  
 Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $u$ une bijection de $J$ dans $I$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$. Alors :\\ $$\ds\forall(\alpha,\beta)\in J^{2},\;\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(t))u'(t)\mathrm{d} t}=\int_{u(\alpha)}^{u(\beta)}{f(x)\mathrm{d} x}$$(la bijectivité n'est pas nécessaire dans cette première égalité) ou encore :\\ $$\ds\forall(a,b)\in I^{2},\;\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}{f(u(x))u'(x)\mathrm{d} x}$$//Les changements de variable non affines sont fournis//. Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $u$ une bijection de $J$ dans $I$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$. Alors :\\ $$\ds\forall(\alpha,\beta)\in J^{2},\;\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(t))u'(t)\mathrm{d} t}=\int_{u(\alpha)}^{u(\beta)}{f(x)\mathrm{d} x}$$(la bijectivité n'est pas nécessaire dans cette première égalité) ou encore :\\ $$\ds\forall(a,b)\in I^{2},\;\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}{f(u(x))u'(x)\mathrm{d} x}$$//Les changements de variable non affines sont fournis//.
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-<html><a name="equation_differentielle"></a></html> 
 __**Exemples**__ __**Exemples**__
   - En considérant le changement de variable $u=\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}$, calculer :\\ $$\ds\int_{0}^{\ln(2)}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}\mathrm{d} x}$$   - En considérant le changement de variable $u=\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}$, calculer :\\ $$\ds\int_{0}^{\ln(2)}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}\mathrm{d} x}$$
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   - Déterminer une primitive de $x\mapsto\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ sur $[-a,a]$ (on pourra poser $t=a\sin(x)$).   - Déterminer une primitive de $x\mapsto\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ sur $[-a,a]$ (on pourra poser $t=a\sin(x)$).
   - On appelle **équation différentielle** toute équation comportant (au moins) la dérivée $y'$ d'une inconnue qui est une fonction $y$ dérivable sur un intervalle $I$. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $I$ c'est déterminer l'ensemble des fonctions $f$ dérivables sur $I$ qui vérifient cette équation. Par exemple, les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=0$ sont les fonctions constantes sur $\R$ ; les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=y$ sont les fonctions $f\colon t\mapsto\lambda\exp(t)$ où $\lambda$ est un réel.   - On appelle **équation différentielle** toute équation comportant (au moins) la dérivée $y'$ d'une inconnue qui est une fonction $y$ dérivable sur un intervalle $I$. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $I$ c'est déterminer l'ensemble des fonctions $f$ dérivables sur $I$ qui vérifient cette équation. Par exemple, les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=0$ sont les fonctions constantes sur $\R$ ; les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=y$ sont les fonctions $f\colon t\mapsto\lambda\exp(t)$ où $\lambda$ est un réel.
-    - Soit $u$ une fonction continue sur $I$. Soit $U$ une primitive de $u$ sur $I$.\\ Montrer que les solutions sur $I$ de l'équation différentielle $y'+uy=0$ sont [[organisation_2019_2020:public::math:2:demo:equation_differentielle|les fonctions de la forme]] :\\ $$\ds\exists K\in\R\;/\;\forall t\in I,\; f(t)=K\mathrm{e}^{-U(t)}$$(c'est le sous-espace vectoriel engendré par la fonction $t\mapsto\mathrm{e}^{-U(t)}$).+    - Soit $u$ une fonction continue sur $I$. Soit $U$ une primitive de $u$ sur $I$.\\ Montrer que les solutions sur $I$ de l'équation différentielle $y'+uy=0$ sont [[:math:2:demo:equation_differentielle|les fonctions de la forme]] :\\ $$\ds\exists K\in\R\;/\;\forall t\in I,\; f(t)=K\mathrm{e}^{-U(t)}$$(c'est le sous-espace vectoriel engendré par la fonction $t\mapsto\mathrm{e}^{-U(t)}$).
     - //Application 1// : Résoudre sur $]-1,+\infty[$ l'équation différentielle $y'+\ln(x+1)y=0$.     - //Application 1// : Résoudre sur $]-1,+\infty[$ l'équation différentielle $y'+\ln(x+1)y=0$.
     - //Application 2// : Équation différentielle du premier ordre avec second membre.     - //Application 2// : Équation différentielle du premier ordre avec second membre.
math/2/calcul_integrale_segment.1561801213.txt.gz · Dernière modification : 2020/05/10 21:15 (modification externe)