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| math:2:bases_orthonormales [2020/05/25 10:12] – Alain Guichet | math:2:bases_orthonormales [2020/05/25 10:15] – Alain Guichet |
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| <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:expression_matricielle_produit_scalaire|Expression matricielle du produit scalaire]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:expression_matricielle_produit_scalaire|Expression matricielle du produit scalaire]]**> |
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| Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base orthonormale de $E$. Soit $(\vv{x},\vv{y})$ un couple de vecteurs de $E$ dont les coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ sont les matrices colonnes respectives $X$ et $Y$. Alors : $$\ds\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XY$$ $$\ds\|\vv{x}\|^{2}={}^t\!XX$$ | Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base orthonormale de $E$. Soit $(\vv{x},\vv{y})$ un couple de vecteurs de $E$ dont les coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ sont les matrices colonnes respectives $X$ et $Y$. Alors : $$\ds\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XY\qquad\text{et}\qquad\|\vv{x}\|^{2}={}^t\!XX$$ |
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| </box> | </box> |
| __**Exemples**__ | __**Exemples**__ |
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| Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base de $E$. On définit la matrice $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ par : $$\ds A=\left(\left\langle \vv*{e}{i},\vv*{e}{j}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$$ Pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on note $X$ la matrice colonne de ses coordonnées dans la base $\mathcal{B}$. | Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base de $E$. On définit la matrice $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ par : $$\ds A=\left(\left\langle \vv{e_i},\vv{e_j}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$$ Pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on note $X$ la matrice colonne de ses coordonnées dans la base $\mathcal{B}$. |
| - Montrer que : $$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XAY$$ | - Montrer que : $$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XAY$$ |
| - Soit $\mathcal{B}'=(\vv{e_1'},\dots,\vv{e_n'})$ une autre base de $E$ et $A'=\left(\left\langle \vv{e_i'},\vv{e_j'}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$. On note aussi $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Montrer que : $$A'={}^t\!PAP$$ | - Soit $\mathcal{B}'=(\vv{e_1'},\dots,\vv{e_n'})$ une autre base de $E$ et $A'=\left(\left\langle \vv{e_i'},\vv{e_j'}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$. On note aussi $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Montrer que : $$A'={}^t\!PAP$$ |
