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| math:2:bases_orthonormales [2020/05/25 10:12] – Alain Guichet | math:2:bases_orthonormales [2020/05/25 10:14] – Alain Guichet |
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| __**Exemples**__ | __**Exemples**__ |
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| Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base de $E$. On définit la matrice $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ par : $$\ds A=\left(\left\langle \vv*{e}{i},\vv*{e}{j}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$$ Pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on note $X$ la matrice colonne de ses coordonnées dans la base $\mathcal{B}$. | Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base de $E$. On définit la matrice $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ par : $$\ds A=\left(\left\langle \vv{e_i},\vv{e_j}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$$ Pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on note $X$ la matrice colonne de ses coordonnées dans la base $\mathcal{B}$. |
| - Montrer que : $$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XAY$$ | - Montrer que : $$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XAY$$ |
| - Soit $\mathcal{B}'=(\vv{e_1'},\dots,\vv{e_n'})$ une autre base de $E$ et $A'=\left(\left\langle \vv{e_i'},\vv{e_j'}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$. On note aussi $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Montrer que : $$A'={}^t\!PAP$$ | - Soit $\mathcal{B}'=(\vv{e_1'},\dots,\vv{e_n'})$ une autre base de $E$ et $A'=\left(\left\langle \vv{e_i'},\vv{e_j'}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$. On note aussi $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Montrer que : $$A'={}^t\!PAP$$ |
| <box 100% red round | **Théorème : [[.:demo:changement_base_orthonormale|Changement de base orthonormale]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[.:demo:changement_base_orthonormale|Changement de base orthonormale]]**> |
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| Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ et $\mathcal{B}'=(\vv{e_1'},\dots,\vv{e_n'})$ deux bases orthonormales. Soit $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Alors, la matrice de passage de la base $\mathcal{B}'$ à la base $\mathcal{B}$ est la matrice : $$P^{-1}={}^t\!P$$ | Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ et $\mathcal{B}'=(\vv{e_1}',\dots,\vv{e_n'})$ deux bases orthonormales. Soit $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Alors, la matrice de passage de la base $\mathcal{B}'$ à la base $\mathcal{B}$ est la matrice : $$P^{-1}={}^t\!P$$ |
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