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| math:2:bases_orthonormales [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1 | math:2:bases_orthonormales [2020/05/25 10:14] – Alain Guichet |
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| * Tout espace espace euclidien admet une base orthonormale. | * Tout espace espace euclidien admet une base orthonormale. |
| * Si $(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{n})$ est une base orthonormale de $E$ alors les coordonnées, dans cette base, de tout vecteur $x$ de $E$ sont données par :\\ $$\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv*{e}{i}\right\rangle \vv*{e}{i}}=\left\langle \vv{x},\vv*{e}{1}\right\rangle \vv*{e}{1}+\dots+\left\langle \vv{x},\vv*{e}{n}\right\rangle \vv*{e}{n}$$Ainsi, dans cette base orthonormale, la norme d'un tel vecteur $\vv{x}$ est donnée par :\\ $$\ds\|\vv{x}\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv*{e}{i}\right\rangle ^{2}}$$donc :\\ $$\ds\|\vv{x}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv*{e}{i}\right\rangle ^{2}}}=\sqrt{\left\langle \vv{x},\vv*{e}{1}\right\rangle ^{2}+\dots+\left\langle \vv{x},\vv*{e}{n}\right\rangle ^{2}}$$ | * Si $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ est une base orthonormale de $E$ alors les coordonnées, dans cette base, de tout vecteur $x$ de $E$ sont données par : $$\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle \vv{e_i}}=\left\langle \vv{x},\vv{e_1}\right\rangle \vv{e_1}+\dots+\left\langle \vv{x},\vv{e_n}\right\rangle \vv{e_n}$$ Ainsi, dans cette base orthonormale, la norme d'un tel vecteur $\vv{x}$ est donnée par : $$\ds\|\vv{x}\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle ^{2}}$$ donc : $$\ds\|\vv{x}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle ^{2}}}=\sqrt{\left\langle \vv{x},\vv{e_1}\right\rangle ^{2}+\dots+\left\langle \vv{x},\vv{e_n}\right\rangle ^{2}}$$ |
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| <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:expression_matricielle_produit_scalaire|Expression matricielle du produit scalaire]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:expression_matricielle_produit_scalaire|Expression matricielle du produit scalaire]]**> |
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| Soit $\mathcal{B}=(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{n})$ une base orthonormale de $E$. Soit $(\vv{x},\vv{y})$ un couple de vecteurs de $E$ dont les coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ sont les matrices colonnes respectives $X$ et $Y$. Alors :\\ $$\ds\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XY$$$$\ds\|\vv{x}\|^{2}={}^t\!XX$$ | Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base orthonormale de $E$. Soit $(\vv{x},\vv{y})$ un couple de vecteurs de $E$ dont les coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ sont les matrices colonnes respectives $X$ et $Y$. Alors : $$\ds\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XY$$ $$\ds\|\vv{x}\|^{2}={}^t\!XX$$ |
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| __**Exemples**__ | __**Exemples**__ |
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| Soit $\mathcal{B}=(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{n})$ une base de $E$. On définit la matrice $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ par :\\ $$\ds A=\left(\left\langle \vv*{e}{i},\vv*{e}{j}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$$Pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on note $X$ la matrice colonne de ses coordonnées dans la base $\mathcal{B}$. | Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base de $E$. On définit la matrice $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ par : $$\ds A=\left(\left\langle \vv{e_i},\vv{e_j}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$$ Pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on note $X$ la matrice colonne de ses coordonnées dans la base $\mathcal{B}$. |
| - Montrer que :\\ $$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XAY$$ | - Montrer que : $$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XAY$$ |
| - Soit $\mathcal{B}'=(\vv*{e}{1}',\dots,\vv*{e}{n}')$ une autre base de $E$ et $A'=\left(\left\langle \vv*{e}{i}',\vv*{e}{j}'\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$. On note aussi $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Montrer que :\\ $$A'={}^t\!PAP$$ | - Soit $\mathcal{B}'=(\vv{e_1'},\dots,\vv{e_n'})$ une autre base de $E$ et $A'=\left(\left\langle \vv{e_i'},\vv{e_j'}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$. On note aussi $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Montrer que : $$A'={}^t\!PAP$$ |
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| <box 100% red round | **Théorème : [[.:demo:changement_base_orthonormale|Changement de base orthonormale]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[.:demo:changement_base_orthonormale|Changement de base orthonormale]]**> |
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| Soit $\mathcal{B}=(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{n})$ et $\mathcal{B}'=(\vv*{e}{1}',\dots,\vv*{e}{n}')$ deux bases orthonormales. Soit $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Alors, la matrice de passage de la base $\mathcal{B}'$ à la base $\mathcal{B}$ est la matrice :\\ $$P^{-1}={}^t\!P$$ | Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ et $\mathcal{B}'=(\vv{e_1}',\dots,\vv{e_n'})$ deux bases orthonormales. Soit $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Alors, la matrice de passage de la base $\mathcal{B}'$ à la base $\mathcal{B}$ est la matrice : $$P^{-1}={}^t\!P$$ |
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