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Lien avec la matrice de l'application linéaire

Définition : Éléments propres d'une matrice

Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ et $\lambda\in\K$.

On dit que $\lambda$ est une valeur propre de la matrice $A$ si et seulement si :
$$\exists X\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)\setminus\{0\}\;/\; AX=\lambda X$$c'est à dire que $\mathrm{rg}(A-\lambda I_{n})<n$. Une telle matrice colonne $X$ est alors appelée vecteur propre de la matrice $A$.
On appelle sous-espace propre de la matrice $A$ associé à la valeur propre $\lambda$ le sous-ensemble de $\mathcal{M}_{n,1}(\K)$ constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à $\lambda$ que l'on note aussi :
$$E_{\lambda}(A)=\left\{ X\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)\,\mid\, AX=\lambda X\right\}$$Comme on peut identifier (au sens d'isomorphisme d'espaces vectoriels) l'ensemble $\mathcal{M}_{n}(\K)$ avec $\mathcal{L}(E)$ (où $E$ est de dimension finie égale à $n$) ainsi que l'ensemble $\mathcal{M}_{n,1}(\K)$ avec $E$ (une base de $E$ étant préalablement choisie), on s'autorise alors à écrire :
$$E_{\lambda}(A)=\mathrm{Ker}(A-\lambda I_{n})$$qui est donc un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n,1}(\K)$ de dimension :
$$\dim(E_{\lambda}(A))=n-\mathrm{rg}(A-\lambda I_{n})$$
On appelle spectre de la matrice $A$ l'ensemble $\mathrm{Sp}(A)$ constitué des valeurs propres de $A$.

Exemple

Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. Montrer que $A$ et ${}^t\!A$ ont les mêmes valeurs propres avec des sous-espaces propres associés de même dimension.
Trouver une matrice $A\in\mathcal{M}_{2}(\R)$ (autre qu'une matrice diagonale) telle que $A$ et ${}^t\!A$ aient les mêmes sous-espaces propres (que l'on précisera) et une matrice $B\in\mathcal{M}_{2}(\R)$ telle que $B$ et ${}^t\!B$ n'aient pas les mêmes sous-espaces propres.

Théorème : Lien endomorphisme-matrice

On suppose que $E$ est de dimension finie $n\geqslant1$.
Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ et $u\in\mathcal{L}(E)$ tels que $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$. Alors :

Le scalaire $\lambda$ est une valeur propre de $u$ si et seulement s'il est aussi une valeur propre de $A$ et $\vv{x}\in E$ est un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$ si et seulement si $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$ (où $X$ représente les coordonnées de $\vv{x}$ dans la base $\mathcal{B}_{E}$.
Pour toute valeur propre $\lambda$ de $A$ (ou de $u$), on peut « identifier » les sous-espaces vectoriels $E_{\lambda}(A)$ et $E_{\lambda}(u)$.
$\mathrm{Sp}(A)=\mathrm{Sp}(u)$.
En particulier, la matrice $A$ est inversible si et seulement si $0\notin\mathrm{Sp}(A)$.

Méthode pratique de recherche des éléments propres

On utilise la méthode du pivot de Gauss sur la matrice $A-\lambda I$ où $A$ est la matrice de l'endomorphisme dans une base donnée.

Exemples

Déterminer les valeurs et les sous-espaces propres associés de l'endomorphisme de $\R^{2}$ (resp. $\C^{2}$) représenté par $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique de $\R^{2}$ (resp. $\C^{2}$).
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de l'endomorphisme de $\R^{3}$ représenté par $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique de $\R^{3}$.

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