Table des matières

Fonction de classe C^2

Fonctions sur ouvert de R^n >	Topologie R^n	C^0 / C^1 sur ouvert de R^n	Classe C^2 sur ouvert de R^n	Dérivée seconde direct

Fonction de classe C^2

Dérivées partielles d'ordre 2

Définition

Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. Soit $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$ admettant une fonction dérivée partielle $\partial_{i}(f)$ d'ordre 1 sur $\mathcal{O}$.

On dit que $f$ admet une dérivée partielle d'ordre 2 par rapport à la variable numéro $i$ puis par rapport à la variable numéro $j$ au point $A$ de $\mathcal{O}$ si et seulement si la fonction $\partial_{i}(f)$ admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à la variable numéro $j$ au point $A$ et on la note alors $\partial_{j,i}^{2}(f)(A)$.
On dit que $f$ admet une fonction dérivée partielle d'ordre 2 par rapport à la variable numéro $i$ puis par rapport à la variable numéro $j$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si la fonction $\partial_{i}(f)$ admet une fonction dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à la variable numéro $j$ sur $\mathcal{O}$ et on la note alors :
$$\ds\partial_{j,i}^{2}(f)\colon M\mapsto\partial_{j,i}^{2}(f)(M)$$Remarquons donc que : $$\partial_{j,i}^{2}(f)=\partial_j(\partial_i(f))$$

Exemples

Justifier que les fonctions affines admettent des fonctions dérivées partielles d'ordre 2 sur $\R^{n}$.
Justifier que $M\mapsto\|\vv{OM}\|^{2}$ admet des fonctions dérivées partielles d'ordre 2 sur $\R^{n}$.
Qu'en est-il de $M\mapsto\|\vv{OM}\|$ ?
Soit $\ds f\colon(x,y)\mapsto\frac{x}{y}$. Déterminer le plus grand ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{2}$ tel que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$. Montrer que $f$ admet des fonctions dérivées partielles d'ordre 2 par rapport à ses deux variables sur $\mathcal{O}$ et les préciser.
Dérivées partielles secondes de $f$ dans le cas où $f(x,y)=\begin{cases} \ds\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}} & \text{si}\;(x,y)\ne(0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$.
Montrer que si $u$ est 2 fois dérivable sur $I$ (intervalle de $\R$) alors $f_{k}\colon I^{n}\to\R,\;(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto u(x_{k})$ admet des dérivées partielles d'ordre 2 par rapport à tous les couples de variables sur $I^{n}$ et préciser le réel $\partial_{i,j}^{2}(f_{k})(x_{1},\dots,x_{n})$.

Classe C^2

Définition

* Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. On dit que $f\colon\mathcal{O}\to\R$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si l'une des propriétés (équivalentes) suivantes est vérifiée :

$f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ et toutes ses fonctions dérivées partielles d'ordre 1 sont aussi de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$,
$f$ admet des fonctions dérivées partielles d'ordre 2 par rapport à tout couple $(h,k)$ de numéros de variables qui sont continues sur $\mathcal{O}$.

Théorème

Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. Soit $f$ et $g$ définies et de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ à valeurs dans $\R$. Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$. Soit $\varphi$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur un intervalle $I$ de $\R$ contenant $f(\mathcal{O})$. Alors, les fonctions $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\ds\frac{f}{g}$ (dans le cas où $g$ ne s'annule pas sur $\mathcal{O}$) et $\varphi\circ f$ sont de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$.
En particulier, toute fonction polynôme est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\R^{n}$.

Théorème : Théorème de Schwarz (admis)

Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$.

Soit $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$ tel que $i\ne j$. Si $\partial_{i,j}^{2}(f)$ et $\partial_{j,i}^{2}(f)$ sont définies et continues « autour » d'un point $A$ de $\mathcal{O}$, alors : $$\ds\partial_{i,j}^{2}(f)(A)=\partial_{j,i}^{2}(f)(A)$$
Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ alors, pour tout couple $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$ tel que $i\ne j$, on a :
$$\ds\partial_{i,j}^{2}(f)=\partial_{j,i}^{2}(f)$$(égalité des fonctions sur $\mathcal{O}$).

Exemples et contre exemple

Comparer $\partial_{1,2}^{2}(f)(x,y)$ et $\partial_{2,1}^{2}(f)(x,y)$ dans le cas où $f(x,y)=x^{3}+y^{3}+xy^{2}-x^{2}y+xy$.
Comparer $\partial_{1,2}^{2}(f)$ et $\partial_{2,1}^{2}(f)$ dans le cas où $f(x,y)=\begin{cases} \ds\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}} & \text{si}\;(x,y)\ne(0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$.

Matrice hessienne

Définition

On suppose que $f$ admet des dérivées partielles d'ordre 2 par rapport à tout couple de variable au point $A$. On appelle hessienne de $f$ au point $A$ la matrice :
$$\nabla^{2}f(A)=\begin{pmatrix} \partial_{1,1}^{2}(f)(A) & \dots & \partial_{1,n}^{2}(f)(A) \\ \vdots & & \vdots \\ \partial_{n,1}^{2}(f)(A) & \dots & \partial_{n,n}^{2}(f)(A) \end{pmatrix}=\left(\partial_{i,j}^{2}(f)(A)\right)_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\1\leqslant j\leqslant n}}\in\mathcal{M}_{n}(\R)$$(les colonnes de $\nabla^{2}(f)(A)$ sont les gradients respectifs des fonctions $\partial_{j}(f)$ en $A$).
Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ alors la matrice hessienne de $f$ en tout point $A$ est symétrique et on note $q_{A}$ la forme quadratique associée à la matrice hessienne en $A$, c'est à dire que l'on a :
$$\forall\vv{x}\in\R^{n},\; q_{A}\left(\vv{x}\right)={}^t\!X\cdot\nabla^{2}f(A)\cdot X=\ds\sum_{i=1}^{n}{\partial_{i,i}^{2}(f)(A)x_{i}^{2}}+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}{\partial_{i,j}^{2}(f)(A)x_{i}x_{j}}$$où $X$ est la matrice colonne des coordonnées $(x_1,\dots,x_n)$ du vecteur $\vv{x}$ dans la base canonique de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$.

Exemples

Dans chaque cas, déterminer la matrice hessienne de $f$ au point considéré puis préciser la forme quadratique associée lorsqu'elle y est définie.
1. $f(x_{1},\dots,x_{n})=\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}$ en $A(a_{1},\dots,a_{n})$.
2. $f(x,y,z)=x^{2}+xy+y^{2}+yz+z^{2}+zx+x+y+z+1$ en $A(1,0,-1)$.
3. $f(x,y)=x^{3}+y^{3}+xy^{2}-x^{2}y+xy$ en $A(2,1)$.
Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_{n}(\R)$, $B$ une matrice colonne de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et $c$ un réel. Pour ${}^t\!X=\begin{pmatrix}x_{1} & \dots & x_{n}\end{pmatrix}$, on pose :
$$\ds f(x_{1},\dots,x_{n})={}^t\!X\cdot A\cdot X+{}^t\!X\cdot B+c$$Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\R^{n}$ et préciser $\nabla^{2}f(x_{1},\dots,x_{n})$.

Développement limité à l'ordre 2

Théorème : Condition suffisante d'existence (admis)

Soit $f$ définie et de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$. On note $q_{A}$ la forme quadratique associée à la hessienne de $f$ en un point $A$ de $\mathcal{O}$. Alors (de manière équivalente) :

il existe une fonction $\varepsilon\colon\R^{n}\to\R$ telle que $\varepsilon(O)=0$, $\varepsilon$ est continue en O et pour tout point $H\in\R^{n}$ tel que $A+H=A+\vv{OH}\in\mathcal{O}$, on a :
$$\ds f(A+H)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{OH}\right\rangle +\frac{1}{2}q_{A}\left(\vv{OH}\right)+\|\vv{OH}\|^{2}\varepsilon(H)$$
il existe une fonction $\varepsilon\colon\R^{n}\to\R$ telle que $\varepsilon(A)=0$, $\varepsilon$ est continue en $A$ et pour tout point $M\in\mathcal{O}$, on a :
$$\ds f(M)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{AM}\right\rangle +\frac{1}{2}q_{A}\left(\vv{AM}\right)+\|\vv{AM}\|^{2}\varepsilon(M)$$

Définition

Ces relations sont appelées développement limité à l'ordre 2 de $f$ au voisinage de $A$.

Exemples

Développement limité à l'ordre 2 de $f(x_{1},\dots,x_{n})=\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}$ en $A(a_{1},\dots,a_{n})$.
Développement limité à l'ordre 2 de $f(x,y,z)=x^{2}+xy+y^{2}+yz+z^{2}+zx+x+y+z+1$ en $A(1,0,-1)$.
Développement limité à l'ordre 2 de $f(x,y)=x^{3}+y^{3}+xy^{2}-x^{2}y+xy$ en $A(2,1)$.

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