Les sommes étant stables par combinaisons linéaires, on en déduit rapidement que $F_1+\dots+F_n$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Si $\vv{x_i}\in F_{i}$ alors :
$$\ds\vv{x_i}=\vv{0_E}+\dots+\vv{0_E}+\vv{x_i}+\vv{0_E}+\dots+\vv{0_E}\in F_{1}+\dots+F_{p}$$donc :
$$\ds F_{i}\subset\left(F_{1}+\dots+F_{p}\right)$$et ainsi :
$$\ds\left(F_{1}\cup\dots\cup F_{p}\right)\subset\left(F_{1}+\dots+F_{p}\right)$$Soit $G$ un autre sous-espace de $E$ tel que $\ds\left(F_{1}\cup\dots\cup F_{p}\right)\subset G$. Si $\ds\vv{x_1}+\dots+\vv{x_p}\in\left(F_{1}+\dots+F_{p}\right)$ alors, comme $\vv{x_i}\in F_{i}\subset G$ pour tout $i\in[\![1,p]\!]$ et comme $G$ est un sous-espace de $E$ alors :
$$\vv{x_1}+\dots+\vv{x_p}\in G$$Ainsi $\left(F_{1}+\dots+F_{p}\right)\subset G$.