Retour

Preuve : propriétés des sous-espaces propres

Soit $\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$ et $F$ le sous-espace propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$. Pour tout $\vv{x}\in F$, on a :
$$u(\vv{x})=\lambda\vv{x}\in F$$Ainsi, $F$ est stable par $u$.
Notons $E_{\lambda_{1}}(u),\dots,E_{\lambda_{k}}(u)$ les sous-espaces propres de $u$ (ils sont en nombre fini puisque les valeurs propres sont en nombre fini).
- Dans le cas où $k=2$. Si $\vv{x}\in E_{\lambda_{1}}(u)\cap E_{\lambda_{2}}(u)$ alors : $$\ds u(\vv{x})=\lambda_{1}\vv{x}=\lambda_{2}\vv{x}$$ $$(\lambda_{1}-\lambda_{2})\vv{x}=\vv{0_E}$$ $$\vv{x}=\vv{0_E}$$ puisque $\lambda_{1}\ne\lambda_{2}$.
- Dans le cas où $k=3$. Supposons que : $\vv{x_1}+\vv{x_2}+\vv{x_3}=\vv{0_E}$ où $\vv{x_i}\in E_{\lambda_{i}}(u)$ pour tout entier $i$. Alors, en appliquant $u$ puis $u^{2}$ on obtient le système de 3 équations à 3 inconnues suivant :
  $$\begin{cases} \vv{x_1}+\vv{x_2}+\vv{x_3} & =\vv{0_E} \\ \lambda_1\vv{x_1}+\lambda_2\vv{x_2}+\lambda_3\vv{x_3} & =\vv{0_E} \\ \lambda_1^2\vv{x_1}+\lambda_2^2\vv{x_2}+\lambda_3^2\vv{x_3} & =\vv{0_E} \end{cases}$$ On procède alors, dans l'ordre, aux opérations suivantes sur les équations : $$\ds L_{3}\leftarrow L_{3}-\lambda_{1}L_{2}$$ $$\ds L_{2}\leftarrow L_{2}-\lambda_{1}L_{1}$$ $$\ds L_{3}\leftarrow L_{3}-\lambda_{2}L_{2}$$ pour obtenir successivement : $$\begin{cases} \vv{x_1}+\vv{x_2}+\vv{x_3} & =\vv{0_E} \\ (\lambda_2-\lambda_1)\vv{x_2}+(\lambda_3-\lambda_1)\vv{x_3} & =\vv{0_E} \\ \lambda_2(\lambda_2-\lambda_1)\vv{x_2}+\lambda_3(\lambda_2-\lambda_1)\vv{x_3} & =\vv{0_E} \end{cases}$$ $$\begin{cases} \vv{x_1}+\vv{x_2}+\vv{x_3} & =\vv{0_E} \\ (\lambda_2-\lambda_1)\vv{x_2}+(\lambda_3-\lambda_1)\vv{x_3} & =\vv{0_E} \\ (\lambda_3-\lambda_2)(\lambda_2-\lambda_1)\vv{x_3} & =\vv{0_E} \end{cases}$$ dont la seule solution est :
  $$\ds\vv{x_1}=\vv{x_2}=\vv{x_3}=\vv{0_E}$$
- On procèderait de même pour les autres valeurs de $k$.
À chaque valeur propre est associé un sous-espace propre. Les sous-espaces propres sont en somme directe donc leur nombre est inférieur à la dimension de $E$.