Pour tout $n>p$, on a :
$$\ds a_{n}=\sum_{k=p}^{n}{a_{k}}-\sum_{k=p}^{n-1}{a_{k}}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\sum_{k=p}^{+\infty}{a_{k}}-\sum_{k=p}^{+\infty}{a_{k}}=0$$

Pour tout entier $n\geqslant q>p$, on a :
$$\ds\sum_{k=p}^{n}{u_{k}}=\sum_{k=p}^{q-1}{u_{k}}+\sum_{k=q}^{n}{u_{k}}$$d'où la nature identique et l'égalité de Chasles en cas de convergence.

Pour tout entier $n\geqslant p$, on a :
$$\ds\sum_{k=p}^{n}{(\lambda u_{k}+\mu v_{k})}=\lambda\sum_{k=p}^{n}{u_{k}}+\mu\sum_{k=p}^{n}{v_{k}}$$d'où la convergence de la combinaison linéaire si les 2 séries du membre de droite convergent.