Soit $\mathcal H(n)$ la proposition : « pour toute famille $(B_{1},\dots,B_{n})$ d'événements tels que $\mathbb P(B_{1}\cap\dots\cap B_{n-1})\neq0$, on a $\mathbb P(B_{1}\cap\dots\cap B_{n})=\mathbb P(B_{1})\times\mathbb P_{B_{1}}(B_{2})\times\dots\times\mathbb P_{B_{1}\cap\dots\cap B_{n-1}}(B_{n})$ ».

La définition de la probabilité conditionnelle assure que la proposition $\mathcal H(2)$ est vraie.

Soit $n\geqslant2$ tel que la proposition $\mathcal H(n)$ est vraie. Soit $(B_{1},\dots,B_{n+1})$ une famille d'événements tels que $\mathbb P(B_{1}\cap\dots\cap B_{n})\neq0$. D'après la proposition $\mathcal H(2)$ appliquée à la famille $(B_{1}\cap\dots\cap B_{n},B_{n+1})$, on a :
$$\mathbb P(B_{1}\cap\dots\cap B_{n}\cap B_{n+1})=\mathbb P(B_{1}\cap\dots\cap B_{n})\times\mathbb P_{B_{1}\cap\dots\cap B_{n}}(B_{n+1})$$Comme :
$$(B_{1}\cap\dots\cap B_{n-1}\cap B_{n})\subset (B_{1}\cap\dots\cap B_{n-1})$$ alors :
$$0<\mathbb P(B_{1}\cap\dots\cap B_{n})\leqslant\mathbb P(B_{1}\cap\dots\cap B_{n-1})$$donc $\mathbb P(B_{1}\cap\dots\cap B_{n-1})\ne0$ et on peut ainsi appliquer $\mathcal H(n)$ :
$$\mathbb P(B_{1}\cap\dots\cap B_{n+1})=\mathbb P(B_{1})\times\mathbb P_{B_{1}}(B_{2})\times\dots\times\mathbb P_{B_{1}\cap\dots\cap B_{n-1}}(B_{n})\times\mathbb P_{B_{1}\cap\dots\cap B_{n}}(B_{n+1})$$donc la proposition $\mathcal H(n+1)$ est vraie.