On effectue les démonstrations dans le cas de limites finies, il suffit d'adapter lorsque l'une, au moins, des limites est infinie.

• Soit $\varepsilon>0$. Comme $\ds\lim_{t\to\ell'}{g(t)}=\ell''$ alors :
  $$\ds\exists\varepsilon'>0\;/\;\forall t\in\left[\ell'-\varepsilon',\ell'+\varepsilon'\right],\;\left|g(t)-\ell''\right|\leqslant\varepsilon\qquad(\iff g(t)\in\left[\ell''-\varepsilon,\ell''+\varepsilon\right])$$ Comme $\ds\lim_{x\to\ell}{f(x)}=\ell'$ alors :
  $$\ds\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in\left[\ell-\alpha,\ell+\alpha\right],\;\left|f(x)-\ell'\right|\leqslant\varepsilon'\qquad(\iff f(x)\in\left[\ell'-\varepsilon',\ell'+\varepsilon'\right])$$ Ainsi :
  $$\ds\forall x\in\left[\ell-\alpha,\ell+\alpha\right],\quad t=f(x)\in\left[\ell'-\varepsilon',\ell'+\varepsilon'\right],\quad g(t)\in\left[\ell''-\varepsilon,\ell''+\varepsilon\right])$$ $$\ds\forall x\in\left[\ell-\alpha,\ell+\alpha\right],\quad\left|g(f(x))-\ell''\right|\leqslant\varepsilon$$ ce qui prouve le résultat.
• Soit $\varepsilon>0$. Comme $\ds\lim_{x\to\ell}{f(x)}=\ell'$ alors :
  $$\ds\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in\left[\ell-\alpha,\ell+\alpha\right],\;\left|f(x)-\ell'\right|\leqslant\varepsilon\qquad(\iff f(x)\in\left[\ell'-\varepsilon,\ell'+\varepsilon\right])$$ Comme $\ds\lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=\ell$ alors :
  $$\ds\exists n_{0}\in\N\;/\;\forall n\geqslant n_{0}\;\left|u_{n}-\ell\right|\leqslant\alpha\qquad(\iff u_{n}\in\left[\ell-\alpha,\ell+\alpha\right])$$ Ainsi :
  $$\ds\forall n\geqslant n_{0},\quad x=u_{n}\in\left[\ell-\alpha,\ell+\alpha\right],\quad f(u_{n})\in\left[\ell'-\varepsilon,\ell'+\varepsilon\right])$$ $$\ds\forall n\geqslant n_{0},\quad\left|f(u_{n})-\ell'\right|\leqslant\varepsilon$$ ce qui prouve le résultat.