Soit $I$ un ensemble. Soit $(\mathcal{A}_{i})_{i\in I}$ une famille de tribus de $\Omega$. Notons $\ds\mathcal{A}=\bigcap_{i\in I}{\mathcal{A}_{i}}$.
Comme $\Omega\in\mathcal{A}_{i}$ pour tout $i\in I$, on en déduit que :
$$\ds\Omega\in\mathcal{A}$$ Soit $A\in\mathcal{A}$. Alors :
$$\ds\forall i\in I,\;A\in\mathcal{A}_{i}\qquad\text{donc}\qquad\forall i\in I,\;\bar{A}\in\mathcal{A}_{i}$$d'où : $\ds\bar{A}\in\mathcal{A}$.
Soit $(A_{n})_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $\mathcal{A}$. Soit $i\in I$. On a donc :
$$\ds\forall n\in\N,\;A_{n}\in\mathcal{A}_{i}\qquad\text{donc}\qquad\left(\bigcup_{n\in\N}{A_{n}}\right)\in\mathcal{A}_{i}$$ d'où : $\ds\left(\bigcup_{n\in\N}{A_{n}}\right)\in\mathcal{A}$.
On en conclut que $\mathcal{A}$ est une tribu.

Soit $\mathcal{F}$ une famille de parties de $\Omega$. D'après ce qui précède, l'intersection de toutes les tribus contenant la famille $\mathcal{F}$ existe. Notons-la $\mathcal{A}(\mathcal{F})$. Il est alors immédiat que toute tribu contenant $\mathcal{F}$ contient alors $\mathcal{A}(\mathcal{F})$.