Soit $\ds\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)$ une base de $F\cap G$. C'est en particulier une famille libre de $F$ et une famille libre de $G$. On la complète en une base $\ds\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p},\vv{y_{p+1}},\dots,\vv{y_{p+r}}\right)$ de $F$ ainsi qu'en une base $\ds\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p},\vv{z_{p+1}},\dots,\vv{z_{p+s}}\right)$ de $G$. On a ainsi :
$$\ds\dim(F\cap G)=p\qquad\dim(F)=p+r\qquad\dim(G)=p+s$$ On va montrer que :
$$\ds\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p},\vv{y_{p+1}},\dots,\vv{y_{p+r}},\vv{z_{p+1}},\dots,\vv{z_{p+s}}\right)$$ est une base de $F+G$. Tout d'abord, cette famille de vecteurs de $E$ est clairement une famille génératrice de vecteurs de $F+G$. Soit maintenant $\ds(\lambda_{1},\dots,\lambda_{p},\mu_{1},\dots,\mu_{r},\nu_{1},\dots,\nu_{s})\in\K^{p+q+s}$ tel que :
$$\ds\sum_{k=1}^{p}{\lambda_{k}\vv{x_k}}+\sum_{k=1}^{r}{\mu_{k}\vv{y_{p+k}}}+\sum_{k=1}^{s}{\nu_{k}\vv{z_{p+k}}}=\vv{0_E}$$ Alors, on a :
$$\ds\sum_{k=1}^{p}{\lambda_{k}\vv{x_k}}+\sum_{k=1}^{r}{\mu_{k}\vv{y_{p+k}}}=-\sum_{k=1}^{s}{\nu_{k}\vv{z_{p+k}}}$$ Le vecteur de gauche est élément de $F$, celui de droite est élément de $G$. Comme ils sont égaux, ils sont tous les deux éléments de $F\cap G$. Chacun est donc une combinaison linéaire des vecteurs $\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}$. Alors, dans le vecteur de gauche, on en déduit que les $\mu_{k}$ sont tous nuls (puisque $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p},\vv{y_{p+1}},\dots,\vv{y_{p+r}}\right)$ est une base de $F$) et que les $\nu_{k}$ sont tous nuls (puisque $\ds\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p},\vv{z_{p+1}},\dots,\vv{z_{p+s}}\right)$ est une base de $G$). On obtient donc que :
$$\ds\sum_{k=1}^{p}{\lambda_{k}\vv{x_k}}=\vv{0_E}$$ ce qui assure que tous les $\lambda_{k}$ sont nuls. La famille est donc libre dans $E$. C'est alors une base de $F+G$. En conséquence, on a :
$$\ds\dim(F+G)=p+r+s=\left(p+r\right)+\left(p+s\right)-p=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)$$