On sait que : $$\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle \vv{e_i}}\qquad\text{et}\qquad\vv{y}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{y},\vv{e_i}\right\rangle \vv{eji}}$$ donc : $$\ds X=\begin{pmatrix}\left\langle \vv{x},\vv{e_1}\right\rangle \\ \vdots \\ \left\langle \vv{x},\vv{e_n}\right\rangle \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad Y=\begin{pmatrix}\left\langle \vv{y},\vv{e_1}\right\rangle \\ \vdots \\ \left\langle \vv{y},\vv{e_n}\right\rangle \end{pmatrix}$$ Alors : $$\ds\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle \left\langle \vv{y},\vv{e_i}\right\rangle }=\;^{t}\!XY$$ grâce à l'identification des matrices carrées d'ordre 1 avec les réels. La seconde égalité est immédiate.