Posons $\vv{u}=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})\in\R^n$ un vecteur unitaire. On note $U$ la matrice colonne des coordonnées de $\vv{u}$ dans la base canonique de $\R^n$. Pour tout réel $t$ tel que $A+t\vv{u}\in\mathcal{O}$, on a : $$g(t)=f(A+t\vv{u})=f(a_{1}+t\alpha_{1},\dots,a_{n}+t\alpha_{n})$$ $$\ds g'(t)=\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}f(a_{1}+t\alpha_{1},\dots,a_{n}+t\alpha_{n})}=\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}f(A+t\vv{u})}$$ $$\ds g''(t)=\sum_{i=1}^{n}{\left[\alpha_{i}\sum_{j=1}^{n}{\alpha_{j}\partial^{2}_{j,i}f(A+t\vv{u})}\right]}={}^tU\nabla^{2}f(A+t\vv{u})U=q_{A+t\vv{u}}(\vv{u})$$ d'où, puisque $\vv{u}$ est unitaire : $$f''_{U}(A)=g''(0)=q_{A}(\vv{u})$$