Convergence en $+\infty$ : On intègre une fonction positive. De plus, pour tout réel $x$, on a :
$$\ds \mathrm{e}^{-t}\underset{t\to+\infty}{=}o\left(\frac{1}{t^{x+1}}\right)\qquad\text{donc}\qquad t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\underset{t\to+\infty}{=}o\left(\frac{1}{t^{2}}\right)$$Or, l'intégrale de Riemann $\ds\int_{1}^{+\infty}{\frac{\mathrm d t}{t^{2}}}$ est convergente donc l'intégrale $\ds\int_{1}^{+\infty}{t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm d t}$ est convergente pour tout réel $x$.

Convergence en 0 : La fonction $t\mapsto t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}$ est continue sur $]0,+\infty[$ et se prolonge par continuité lorsque $x\geqslant1$ (mais pas lorsque $x<1$). Il n'y a donc de problème que dans le cas où $x<1$. On intègre alors une fonction positive. De plus :
$$\ds t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\underset{t\to0}{\sim}t^{x-1}=\frac{1}{t^{1-x}}$$Or, l'intégrale de Riemann $\ds\int_{0}^{1}{\frac{\mathrm d t}{t^{1-x}}}$ converge si et seulement si $1-x<1$ c'est-à-dire si et seulement si $x>0$. Alors, l'intégrale $\ds\int_{0}^{1}{t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm d t}$ est convergente si et seulement si $0<x<1$ ou $x\geqslant1$ c'est à dire si et seulement si $x>0$.

On en déduit que l'intégrale $\ds\int_{0}^{+\infty}{t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm d t}$ est convergente si et seulement si $x>0$.