Supposons que $f$ admet un extremum local en $A\in\mathcal{O}$, c'est-à-dire que $f(M)-f(A)$ est de signe constant au voisinage de $A$. Le développement limité à l'ordre 1 de $f$ en $A$ est : $$\ds\forall M\in\mathcal{O},\;f(M)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{AM}\right\rangle +\|\vv{AM}\|\varepsilon\left(M\right)$$ avec $\varepsilon(A)=0$ et $\varepsilon$ continue en $A$.

Supposons que $\nabla f(A)\ne\vv{0}$.

L'une au moins des dérivée partielles n'est pas nulle : notons $i_{0}$ un numéro d'une telle dérivée partielle non nulle. Comme $\mathcal{O}$ est ouvert, il contient des points $M$ de la forme $A+t\vv{e_{i_{0}}}$ avec $t$ élément d'un intervalle ouvert centré en 0. Pour tout réel $t$ « petit » de cet intervalle, on a donc : $$\ds f(A+t\vv{e_{i_{0}}})-f(A)=\partial_{i_{0}}(f)(A)t+|t|\varepsilon(A+t\vv{e_{i_{0}}})$$ ($M=A+t\vv{e_{i_{0}}}$ et $\vv{AM}=t\vv{e_{i_{0}}}$ donc $\|\vv{AM}\|=\left|t\right|$). Comme $\varepsilon(A+t\vv{e_{i_{0}}})\xrightarrow[t\to0]{}0$ alors le signe de $f(A+t\vv{e_{i_{0}}})-f(A)$ est celui de $\partial_{i_{0}}(f)(A)t$ pour $t$ « assez petit ». Comme $\partial_{i_{0}}(f)(A)\ne0$ alors $f(A+t\vv{e_{i_{0}}})-f(A)$ change de signe au voisinage de $t=0$ ce qui est en contradiction avec le fait que $f$ admet un extremum local en $A$. On en déduit que : $$\ds\nabla f(A)=\vv{0}$$ c'est-à-dire que $A$ est un point critique de $f$.