Soit $F$ une primitive d'une fonction $f$ définie et continue sur $\left]a,b\right[$. On suppose que $\ds u\colon\left]\alpha,\beta\right[\to\left]a,b\right[$ une application de classe $\mathcal{C}^{1}$, bijective et strictement croissante de $\left]\alpha,\beta\right[$ dans $\left]a,b\right[$. Ainsi, par continuité, bijectivité et croissance stricte : $$\ds u(x)\xrightarrow[x\to\alpha]{}a\qquad u(x)\xrightarrow[x\to\beta]{}b$$ $$u^{-1}(t)\xrightarrow[t\to a]{}\alpha\qquad u^{-1}(t)\xrightarrow[t\to b]{}\beta$$

• On suppose que l'intégrale $\ds\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(x))u'(x)\d x}$ est convergente. Soit $t_{0}\in\left]a,b\right[$. Pour tout réel $t_{1}\in\left[t_{0},b\right[$: $$\begin{array}{rl}\ds\int_{t_{0}}^{t_{1}}{f(t)\d t} & = \ds\left[F(t)\right]_{t_{0}}^{t_{1}} = F(t_{1})-F(t_{0}) \\ & = F(u(u^{-1}(t_{1})))-F(u(u^{-1}(t_{0}))) \\ & = \left[(F\circ u)(x)\right]_{u^{-1}(t_{0})}^{u^{-1}(t_{1})} \\ & = \ds\int_{u^{-1}(t_{0})}^{u^{-1}(t_{1})}{f(u(x))u'(x)\d x} \\ & \ds\xrightarrow[t_{1}\to b]{}\int_{u^{-1}(t_{0})}^{\beta}{f(u(x))u'(x)\d x}\end{array}$$ (par convergence de l'intégrale $\ds\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(x))u'(x)\d x})$ donc l'intégrale $\ds\int_{t_{0}}^{b}{f(t)\d t}$ est convergente et : $$\ds\int_{t_{0}}^{b}{f(t)\d t} = \int_{u^{-1}(t_{0})}^{\beta}{f(u(x))u'(x)\d x}$$ Les mêmes calculs que précédemment donnent pour tout réel $t_{1}\in\left]a,t_{0}\right]$: $$\begin{array}{rl}\ds\int_{t_{1}}^{t_{0}}{f(t)\d t} & = \int_{u^{-1}(t_{1})}^{u^{-1}(t_{0})}{f(u(x))u'(x)\d x} \\ & \xrightarrow[t_{1}\to a]{} \int_{\alpha}^{u^{-1}(t_{0})}{f(u(x))u'(x)\d x}\end{array}$$ donc l'intégrale $\ds\int_{a}^{t_{0}}{f(t)\d t}$ est convergente et : $$\ds\int_{a}^{t_{0}}{f(t)\d t} = \int_{\alpha}^{u^{-1}(t_{0})}{f(u(x))u'(x)\d x}$$ On en déduit que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\d t}$ est convergente et que, par relation de Chasles : $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\d t}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(x))u'(x)\d x}$$
• On suppose que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\d t}$ est convergente. Soit $x_{0}\in\left]\alpha,\beta\right[$. Pour tout $x_{1}\in\left[x_{0},\beta\right[$ : $$\begin{array}{rl}\ds\int_{x_{0}}^{x_{1}}{f(u(x))u'(x)\d x} & = \ds\left[(F\circ u)(x)\right]_{x_{0}}^{x_{1}} \\ & = F(u(x_{1}))-F(u(x_{0})) \\ & = \left[F(t)\right]_{u(x_{0})}^{u(x_{1})} \\ & = \ds\int_{u(x_{0})}^{u(x_{1})}{f(t)\d t} \\ & \ds\xrightarrow[x_{1}\to\beta]{} \int_{u(x_{0})}^{b}{f(t)\d t}\end{array}$$ De même, pour tout $x_{1}\in\left]\alpha,x_{0}\right]$ : $$\ds\int_{x_{1}}^{x_{0}}{f(u(x))u'(x)\d x} = \int_{u(x_{1})}^{u(x_{0})}{f(t)\d t} \xrightarrow[x_{1}\to\alpha]{} \int_{a}^{u(x_{0})}{f(t)\d t}$$ On en déduit que l'intégrale $\ds\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(x))u'(x)\d x}$ est convergente et que, par relation de Chasles : $$\ds\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(x))u'(x)\d x}=\int_{a}^{b}{f(t)\d t}$$