Pour tout $i\in[\![1,p]\!]$, on note : $r_{i}=\dim(F_{i})$ et $\ds\mathcal{B}_{i}=\left(\vv{x_1}^{(i)},\dots,\vv{x_{r_i}}^{(i)}\right)$.

• $\boxed{1\implies2}$ : Supposons que la somme est directe. La décomposition de $\vv{0_E}$ est unique et $\vv{0_E}+\dots+\vv{0_E}$ en est une donc c'est la seule.
• $\boxed{2\implies3}$ : Supposons l'unicité de la décomposition de $\vv{0_E}$. La concaténation des bases est nécessairement une famille génératrice de la somme $F_{1}+\dots+F_{p}$. Montrons qu'elle est aussi libre. Soit alors la famille de scalaires $\ds\left(\lambda_{k}^{(i)}\right)_{i\in[\![1,p]\!],k\in[\![1,r_i]\!]}\in\K^{r_{1}+\dots+r_{p}}$ telle que :
  $$\ds\sum_{i=1}^{p}{\left(\sum_{k=1}^{r_{i}}{\lambda_{k}^{(i)}\vv*{x}{k}^{(i)}}\right)}=\vv{0_E}$$ Par unicité de la décomposition de $\vv{0_E}$ dans $F_{1}+\dots+F_{p}$, on en déduit que :
  $$\ds\forall i[\![1,p]\!],\;\sum_{k=1}^{r_{i}}{\lambda_{k}^{(i)}\vv{x_k}^{(i)}}=\vv{0_E}$$ Comme chaque $\mathcal{B}_{i}$ est une base de $F_{i}$, on en déduit que :
  $$\ds\forall i\in[\![1,p]\!],\;\forall k\in[\![1,r_i]\!],\;\lambda_{k}^{(i)}=0$$ La concaténation des bases est une famille libre et génératrice de la somme : c'en est donc une base.
• $\boxed{3\implies1}$ : Supposons que la concaténation des bases est une base de la somme. Soit $\vv{x}\in F_{1}+\dots+F_{p}$. Supposons l'existence de deux décompositions :
  $$\ds\vv{x}=\vv{x_1}+\dots+\vv{x_p}=\vv{y_1}+\dots+\vv{y_p}$$ Posant :
  $$\ds\vv{x_i}=\sum_{k=1}^{r_{i}}{\lambda_{k}^{(i)}\vv{x_k}^{(i)}}\in F_{i}$$ et :
  $$\ds\vv{y_i}=\sum_{k=1}^{r_{i}}{\mu_{k}^{(i)}\vv{x_k}^{(i)}}\in F_{i}$$ pour tout $i\in[\![1,p]\!]$, on obtient :
  $$\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{p}{\left(\sum_{k=1}^{r_{i}}{\lambda_{k}^{(i)}\vv{x_k}^{(i)}}\right)}=\sum_{i=1}^{p}{\left(\sum_{k=1}^{r_{i}}{\mu_{k}^{(i)}\vv{x_k}^{(i)}}\right)}$$ Comme $\ds\left(\vv{x_1}^{(1)},\dots,\vv{x_{r_1}}^{(1)},\dots,\vv{x_1}^{(p)},\dots,\vv{x_{r_p}}^{(p)}\right)$ est une base de $F_{1}+\dots+F_{p}$, alors :
  $$\ds\forall i\in[\![1,p]\!],\;\forall k\in[\![1,r_i]\!],\;\lambda_{k}^{(i)}=\mu_{k}^{(i)}$$D'où l'unicité de la décomposition.
• $\boxed{3\iff4}$ : c'est immédiat.