Soit $\vv{x}\in E$. On sait que $\vv{x}=p_{F}(\vv{x})+(x-p_{F}(\vv{x}))$ avec $p_{F}(\vv{x})\in F$ et $\vv{x}-p_{F}(\vv{x})\in F^{\perp}$. Pour tout vecteur $\vv{u}\in F$ , le théorème de Pythagore donne : $$\|\vv{u}-\vv{x}\| = \|(\vv{u}-p_{F}(\vv{x}))-(\vv{x}-p_{F}(\vv{x}))\| = \sqrt{\|\vv{u}-p_{F}(\vv{x})\|^{2}+\|\vv{x}-p_{F}(\vv{x})\|^{2}} \geqslant \|\vv{x}-p_{F}(\vv{x})\| = \|p_{F}(\vv{x})-\vv{x}\|$$ et l'inégalité est stricte si et seulement si $\vv{u}\ne p_{F}(\vv{x})$.

De plus, l'ensemble $\left\{ \left.\|\vv{u}-\vv{x}\|\;\right|\, u\in F\right\}$ est non vide (puisque $F$ est non vide) et minoré par 0 (norme oblige) donc admet une borne inférieure. Cette borne inférieure est un minimum et vaut $\|p_{F}(\vv{x})-\vv{x}\|$ puisque $p_{F}(\vv{x})\in F$ permet de le réaliser et ce vecteur est le seul à le réaliser d'après ce qui précède.