Soit $E$ de dimension $n$, $p\in\llbracket1,n-1\rrbracket$ et $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}\right)$ une famille libre de vecteurs de $E$.

• Comme $p<n$ alors cette famille n'est pas une base de $E$ donc n'est pas génératrice de $E$. Il existe alors un vecteur $\vv*{x}{p+1}\in E$ tel que $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p},\vv*{x}{p+1}\right)$ est libre.
• Si $p+1=n$ alors cette nouvelle famille est génératrice de $E$ et on a terminé. Sinon, il existe un vecteur $\vv*{x}{p+2}$ …
• Ce processus se termine nécessairement puisqu'on ne peut pas dépasser $n$.