Démonstration dans le cas de deux limites finies. Soit donc $\ell$ et $\ell'$ deux limites supposées distinctes (et telles que $\ell<\ell'$) d'une fonction $f\colon I\to\R$ en un point $x_{0}$. Posons $\ds\varepsilon=\frac{\ell'-\ell}{3}>0$. La définition de chaque limite donne, pour ce réel $\varepsilon$ :
$$\ds\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in\forall x\in I\cap\left[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha\right],\;|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$$$\ds\exists\alpha'>0\;/\;\forall x\in\forall x\in I\cap\left[x_{0}-\alpha',x_{0}+\alpha'\right],\;|f(x)-\ell'|\leqslant\varepsilon$$Posons $\alpha_{0}=\min(\alpha,\alpha')>0$. Pour tout $x\in I\cap\left[x_{0}-\alpha_{0},x_{0}+\alpha_{0}\right]$, on a :\\ $$\ds\ell-\varepsilon\leqslant f(x)\leqslant\ell+\varepsilon=\frac{2\ell+\ell'}{3}<\frac{\ell+2\ell'}{3}=\ell'-\varepsilon\leqslant f(x)\leqslant\ell'+\varepsilon$$ce qui est absurde.