Preuve : somme indépendantes de deux lois usuelles

Il est clair que :
$$(X_{1}+X_{2})(\Omega)=\llbracket0,n_{1}+n_{2}\rrbracket$$Posons $q=1-p$. Soit donc $k\in\llbracket0,n_{1}+n_{2}\rrbracket$. D'après le produit de convolution :
$$\begin{array}{rcl} \mathbb{P}(X_{1}+X_{2}=k) & = & \ds\sum_{\substack{i\in\llbracket0,n_{1}\rrbracket\\k-i\in\llbracket0,n_{2}\rrbracket}}^{n_{1}}{\mathbb{P}(X_{1}=i)\mathbb{P}(X_{2}=k-i)} \\ & = & \ds\sum_{i=\max\{0,j-n_{2}\}}^{\min\{j,n_{1}\}}{\left[\binom{n_{1}}{i}p^{i}q^{n_{1}-i}\binom{n_{2}}{k-i}p^{k-i}q^{n_{2}-k+i}\right]} \\ & = & \ds p^{k}q^{n_{1}+n_{2}-k}\sum_{i=\max\{0,j-n_{2}\}}^{\min\{j,n_{1}\}}{\binom{n_{1}}{i}\binom{n_{2}}{k-i}} \\ & = & \ds p^{k}q^{n_{1}+n_{2}-k}\binom{n_{1}+n_{2}}{k} \end{array}$$selon la formule de Vandermonde.

Il est immédiat que :
$$(X_{1}+X_{2})(\Omega)=\N$$Soit $n\in\N$. D'après le produit de convolution :
$$\begin{array}{rcl} \mathbb{P}(X_{1}+X_{2}=n) & = & \ds\sum_{\substack{k\in\N\\n-k\in\N}}{\mathbb{P}(X_{1}=k)\mathbb{P}(X_{2}=n-k)} \\ & = & \ds\sum_{k=0}^{n}{\mathrm{e}^{-\lambda_{1}}\frac{\lambda_{1}^{k}}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda_{2}}\frac{\lambda_{2}^{n-k}}{(n-k)!}} \\ & = & \ds\mathrm{e}^{-\lambda_{1}}\mathrm{e}^{-\lambda_{2}}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}\lambda_{1}^{k}\lambda_{2}^{n-k}} \\ & = & \ds\mathrm{e}^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})}\frac{(\lambda_{1}+\lambda_{2})^{n}}{n!} \end{array}$$