Seul le vecteur nul a pour norme 0 :
$$\ds\|\vv{x}\|=0\iff\varphi(\vv{x},\vv{x})=0\iff\vv{x}=\vv{0_E}$$
Norme d'un vecteur colinéaire à un autre :
$$\ds\|\lambda\vv{x}\|^{2}=\varphi(\lambda\vv{x},\lambda\vv{x})=\lambda^{2}\varphi(\vv{x},\vv{x})=\lambda^{2}\|\vv{x}\|^{2}$$donc :
$$\ds\|\lambda\vv{x}\|=|\lambda|\times\|\vv{x}\|$$
Relation d'Al Kashi :
$$\ds\|\vv{x}+\vv{y}\|^{2}=\varphi(\vv{x}+\vv{y},\vv{x}+\vv{y})=\varphi(\vv{x},\vv{x})+\varphi(\vv{x},\vv{y})+\varphi(\vv{y},\vv{x})+\varphi(\vv{y},\vv{y})=\|\vv{x}\|^{2}+2\varphi(\vv{x},\vv{y})+\|\vv{y}\|^{2}$$
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
Si $\|\vv{x}\|=0$ alors le résultat est évident (y compris le cas d'égalité).
Supposons maintenant que $\|\vv{x}\|\ne0$. Alors :
$$\ds\forall t\in\R,\;0\leqslant\|t\vv{x}+\vv{y}\|^{2}=t^{2}\|\vv{x}\|^{2}+2t\varphi(\vv{x},\vv{y})+\|\vv{y}\|^{2}$$ Comme le signe est constant alors :
$$\ds0\geqslant\Delta=4\varphi(\vv{x},\vv{y})^{2}-4\|\vv{x}\|^{2}\|\vv{y}\|^{2}$$ d'où le résultat. De plus, il y a égalité si et seulement si :
$$\ds\Delta=0\iff\exists t_{0}\in\R\;/\;\|t_{0}\vv{x}+\vv{y}\|^{2}=0\iff\exists t_{0}\in\R\;/\;t_{0}\vv{x}+\vv{y}=\vv*{0}{E}$$
Inégalité triangulaire :
$$\ds(\|\vv{x}\|+\|\vv{y}\|)^{2}=\|\vv{x}\|^{2}+\|\vv{y}\|^{2}+2\|\vv{x}\|\times\|\vv{y}\|\geqslant\|\vv{x}\|^{2}+\|\vv{y}\|^{2}+2\varphi(\vv{x},\vv{y})=\|\vv{x}+\vv{y}\|^{2}$$