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Preuve : noyau et injectivité

Noyau et image sont des sous-espaces

Comme $f(\vv{0_E})=\vv{0_F}$ alors $\vv{0_E}\in\mathrm{Ker}(f)$ et $\vv{0_F}\in\mathrm{Im}(f)$ donc ces deux ensembles sont non vide.
Soit $(\vv{x},\vv{y})\in\left(\mathrm{Ker}(f)\right)^{2}$ et $(\lambda,\mu)\in\K^{2}$. Alors : $$f(\lambda\vv{x}+\mu\vv{y})=\lambda f(\vv{x})+\mu f(\vv{y})=\lambda\vv{0_F}+\mu\vv{0_F}=\vv{0_F}$$ donc $\lambda\vv{x}+\mu\vv{y}\in\mathrm{Ker}(f)$ ce qui prouve que $\mathrm{Ker}(f)$ est un sous-espace de $E$.
Soit $(\vv{x},\vv{y})\in\left(\mathrm{Im}(f)\right)^{2}$ et $(\lambda,\mu)\in\K^{2}$. Alors : $$\exists(\vv{a},\vv{b})\in E^{2}\;/\; f(\vv{a})=\vv{x},\; f(\vv{b})=\vv{y}$$ On en déduit que : $$\lambda\vv{x}+\mu\vv{y}=\lambda f(\vv{a})+\mu f(\vv{b})=f(\lambda\vv{a}+\mu\vv{b})\in\mathrm{Im}(f)$$ ce qui prouve que $\mathrm{Im}(f)$ est un sous-espace de $F$.

$\boxed{\implies}$ : Supposons que $f$ est injective. Il est immédiat que $\{\vv{0_E}\}\subset\mathrm{Ker}(f)$. Soit donc $\vv{x}\in\mathrm{Ker}(f)$. Comme on sait que $f(\vv{0_E})=\vv{0_F}$ alors : $$f(\vv{x})=f(\vv{0_E})$$ Par injectivité de $f$, on en déduit que $\vv{x}=\vv{0_E}$ donc que $\mathrm{Ker}(f)\subset\{\vv{0_E}\}$.
$\boxed{\impliedby}$ : Supposons que $\mathrm{Ker}(f)=\{\vv{0_E}\}$. Soit $(\vv{x},\vv{y})\in E^{2}$ tel que $f(\vv{x})=f(\vv{y})$. Par linéarité de $f$, on en déduit que : $$f(\vv{x}-\vv{y})=\vv{0_F}$$ Par hypothèse, on obtient donc que $\vv{x}-\vv{y}=\vv{0_E}$ d'où l'injectivité de $f$.