On applique le théorème de transfert. Sous réserve de converge absolue : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{E}(Y) & = & \ds\mathbb{E}(aX+b)=\int_{-\infty}^{+\infty}{(at+b)f_{X}(t)\mathrm{d}t} \\ & = & \ds a\int_{-\infty}^{+\infty}{tf_{X}(t)\mathrm{d}t}+b\int_{-\infty}^{+\infty}{f_{X}(t)\mathrm{d}t}=a\mathbb{E}(X)+b1=a\mathbb{E}(X)+b \end{array}$$
Les intégrales sont bien absolument convergentes donc $Y$ admet une espérance lorsque $X$ en admet une.