Preuve : formule de Koenig-Huygens

On suppose que $X$ et $Y$ admettent une espérance. On a: $$\left(X-\E(X)\right)\left(Y-\E(Y)\right)=XY-\E(Y)X-\E(X)Y+\E(X)\E(Y)1\!\!1$$ donc, par linéarité de l'espérance, $\left(X-\E(X)\right)\left(Y-\E(Y)\right)$ admet une espérance si et seulement si $XY$ admet une espérance. Dans ce cas, on a: $$\begin{array}{rcl} \mathrm{Cov}(X,Y) & = & \mathbb{E}\left(XY-\mathbb{E}(Y)X-\mathbb{E}(X)Y+\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)1\!\!1\right) \\ & = & \mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(X)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)+\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(1\!\!1) \\ & = & \mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \end{array}$$puisque $\mathbb{E}(1\!\!1)=1$.

Comme $X$ et $Y$ admettent une variance alors elles admettent une espérance et un moment d'ordre 2. Ainsi l'existence de la covariance du couple $(X,Y)$ est équivalente à l'existence de l'espérance de la variable aléatoire $XY$. Or : $$\begin{array}{rcl}\ds\pr\left(\left(\left|X\right|-\left|Y\right|\right)^{2}\geqslant0\right)=1 & \iff & \ds\pr\left(\left|X\right|^{2}+\left|Y\right|^{2}-2\left|XY\right|\geqslant0\right)=1 \\ & \iff & \ds\pr\left(\left|XY\right|\leqslant\frac{1}{2}X^{2}+\frac{1}{2}Y^{2}\right)=1 \end{array}$$ Comme $X^{2}$ et $Y^{2}$ admettent une espérance alors, par linéarité, $\ds\frac{1}{2}X^{2}+\frac{1}{2}Y^{2}$ admet une espérance et, par domination, on en déduit que la variable aléatoire $XY$ admet une espérance ce qui entraîne l'existence de la covariance du couple $\left(X,Y\right)$.