$\boxed{1\implies2}$ : La somme des sous-espaces propres est déjà directe. La relation de dimensions permet alors de conclure.
$\boxed{2\implies3}$ : Par concaténation des bases de $E_{\lambda}(u)$ puisque chaque vecteur non nul de $E_{\lambda}(u)$ est un vecteur propre.
$\boxed{3\implies1}$ : Supposons que $E$ admet une base constituée exclusivement de vecteurs propres pour $u$. Chaque vecteur propre étant élément d'un $E_{\lambda}(u)$ et ces vecteurs propres formant une famille libre dans $E$ donc « libre dans chacun de ces sous-espaces propres » alors : $$\dim(E)\leqslant\sum_{\lambda\in\mathrm{Sp(u)}}{\dim(E_{\lambda}(u))}$$ De plus, comme les sous-espaces propres sont en somme directe alors :
$$\ds\sum_{\lambda\in\mathrm{Sp(u)}}{\dim(E_{\lambda}(u))}\leqslant\dim(E)$$ d'où l'égalité des dimensions.