Preuve : caractérisation du sous-espace orthogonal

Notons $G$ l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $F$.

• $G$ est un sous-ensemble de $E$.
• Comme $\varphi(\vv{0_E},\vv{x})=0$ pour tout $\vv{x}\in F$ alors $G\neq\varnothing$.
• Soit $(\vv{y_1},\vv{y_2})\in G^{2}$ et $(\lambda_{1},\lambda_{2})\in\R^{2}$. Alors : $$\ds\forall x\in F,\;\varphi(\vv{x},\lambda_{1}\vv{y_1}+\lambda_{2}\vv{y_2})=\lambda_{1}\varphi(\vv{x},\vv{y_1})+\lambda_{2}\varphi(\vv{x},\vv{y_2})=0$$ donc $G$ est stable par combinaisons linéaires.