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Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Théorème : Théorème fondamental de la réduction des matrices

Une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale $D=\textrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$. De plus, si $P\in\mathcal{GL}_{n}(\K)$ est telle que $D=P^{-1}AP$ alors :

les scalaires $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ sont les valeurs propres de la matrice $A$,
la colonne $j\in\llbracket1,n\rrbracket$ de la matrice $P$ (vu comme éléments de $\mathcal{M}_{n,1}(\K)$) est un vecteur propre de la matrice $A$ associé à la valeur propre $\lambda_{j}$,
en particulier: $\ds\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}}$.

Remarques

La trace est un outil pratique dans la recherche des valeurs propres d'une matrice. Par exemple, la matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ est non inversible donc 0 est valeur propre. De plus, $A$ est diagonalisable puisque symétrique donc $A$ admet une autre valeur propre $\lambda$. La trace de $A$ vaut 2 donc :
$$2=0+\lambda$$ c'est à dire que 2 est valeur propre de $A$.
Attention, si une matrice n'est pas diagonalisable, sa trace n'est pas nécessairement égale à la somme de ses valeurs propres.

Théorème : Théorème fondamental de la réduction des endomorphismes

On suppose que $E$ est de dimension finie $n\geqslant1$.
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. On pose : $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$. L'endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement s'il est représenté par une matrice diagonale $D=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E'}}(u)$ dans une base $\mathcal{B}_{E}'$ de $E$. De plus, en posant $P=P_{\mathcal{B}_{E},\mathcal{B}_{E}'}$ et $D=\textrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$, on a :

$D=P^{-1}AP$ (ou bien $A=PDP^{-1}$),
$\mathcal{B}_{E}'$ est une base de $E$ constituée exclusivement de vecteurs propres de $u$,
$\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ sont les valeurs propres (non nécessairement distinctes) de $u$.

Exemples

Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ admettant une unique valeur propre $\lambda$. Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si $u=\lambda\mathrm{Id}_{E}$.
Déterminer, si possible, deux matrices réelles $P$ (inversible) et $D$ (diagonale) telles que $A=PDP^{-1}$ dans les cas suivants : $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A=\begin{pmatrix} 5 & 3 & -3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Théorème : Puissances successives d'une matrice diagonalisable

Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ une matrice diagonalisable dans $\K$ telle que $A=P\, D\, P^{-1}$ où $P$ est une matrice inversible et $D$ est une matrice diagonale. Alors : $$\ds\forall k\in\N,\; A^{k}=P\, D^{k}\, P^{-1}$$

Exemple

Calculer $A^{n}$ pour les exemples précédents.

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