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Lois d'un vecteur aléatoire

Définition : Loi d'un couple de variables aléatoires

Soit $X_{1},\dots,X_{n}$ des variables aléatoires (discrètes, à densité ou non) de $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.

On appelle tribu associée au vecteur aléatoire $(X_{1},\dots,X_{n})$ la tribu notée $\mathcal{A}_{(X_{1},\dots,X_{n})}$ engendrée par les événements $\left([X_{1}\leqslant x_{1}]\cap\dots\cap[X_{n}\leqslant x_{n}]\right)_{(x_{1},\dots,x_{n})\in\R^{n}}$.
On appelle loi du vecteur aléatoire $(X_{1},\dots,X_{n})$ la donnée de la fonction $F_{(X_{1},\dots,X_{n})}\colon\R^{n}\to\R$, appelée répartition conjointe, définie par :
$$\ds\forall(x_{1},\dots,x_{n})\in\R^{n},\; F_{(X_{1},\dots,X_{n})}(x_{1},\dots,x_{n})=\mathbb{P}([X_{1}\leqslant x_{1}]\cap\dots\cap[X_{n}\leqslant x_{n}])$$
On appelle i-ème loi marginale du vecteur aléatoire $(X_{1},\dots,X_{n})$ la loi de la variable $X_{i}$.

Théorème : Caractérisation de la loi d'un vecteur aléatoire discret

Soit $X_{1},\dots,X_{n}$ des variables aléatoires discrètes de $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. La connaissance de la répartition conjointe $F_{(X_{1},\dots,X_{n})}$ est équivalente à la la connaissance de l'ensemble :
$$\left\{ \left(x_{1},\dots,x_{n},\mathbb{P}(\left[X_{1}=x_{1}\right]\cap\dots\cap\left[X_{n}=x_{n}\right])\right)\mid x_{1}\in X_{1}(\Omega),\dots,x_{n}\in X_{n}(\Omega)\right\} $$

Exemple

On lance indéfiniment une pièce truquée de sorte que le côté pile apparaît à chaque lancer avec la probabilité $p\in\left]0,1\right[$.

On note $X_i$ la variable aléatoire égale au rang d'apparition du i-ème pile.
1. Déterminer la loi du vecteur aléatoire $(X_1,X_2,X_3)$.
2. En déduire la loi du couple $(X_2,X_3)$ puis la loi de $X_2$ et celle de $X_3$.
On pose : $Y_1=X_1$ et, pour tout entier $i\geqslant2$ : $Y_i=X_i-X_{i-1}$.
1. Que compte la variable aléatoire $Y_i$ ?
2. Déterminer la loi de $(Y_1,Y_2,Y_3)$.
3. En déduire la loi du couple $(Y_2,Y_3)$ puis la loi de $Y_2$ et celle de $Y_3$.

Théorème (admis)

Si $(X_{1},\dots,X_{n})$ et $(Y_{1},\dots,Y_{n})$ sont deux vecteurs aléatoires de $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ admettant la même loi de probabilité alors, pour toute fonction $g\colon\R^{n}\to\R$ continue sur $\R^{n}$, les variables aléatoires $g(X_{1},\dots,X_{n})$ et $g(Y_{1},\dots,Y_{n})$ ont même loi de probabilité.

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