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Endomorphismes et matrices diagonalisables

<html><a name=“endomorphisme_diagonalisable”></a></html>

Théorème : Endomorphisme diagonalisable

On suppose que $E$ est de dimension finie.
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Les propositions suivantes sont équivalentes :

  • $\ds\dim(E)=\sum_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}{\dim(E_{\lambda}(u))}$,
  • $\ds E=\bigoplus_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}{E_{\lambda}(u)}$,
  • il existe une base de $E$ constituée exclusivement de vecteurs propres de $u$.

Définition

On dit que l'endomorphisme $u$ est diagonalisable dans $\K$ si et seulement si l'une des propositions précédentes est vérifiée.

Exemples

  1. Les endomorphismes qui précédent sont-ils diagonalisables ?
  2. Soit $E$ un $\K$ espace vectoriel. Soit $a$ et $b$ deux scalaires distincts. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ admettant $(X-a)(X-b)$ comme polynôme annulateur. Montrer que $u$ est diagonalisable.

<html><a name=“endomorphisme_diagonalisable_corollaire”></a></html>

Théorème : Corollaires

On suppose que $E$ est de dimension finie $n\geqslant1$.

  • Un endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement s'il est représenté par une matrice diagonale dans une base (de vecteurs propres). De plus, la diagonale de cette matrice est constituée des valeurs propres de $u$ écrites dans l'ordre des vecteurs propres de la base.
  • Si $u$ admet $n=\dim(E)$ valeurs propres deux à deux distinctes alors $u$ est diagonalisable (la réciproque est fausse) et ses sous-espaces propres sont tous de dimension 1.

Exemples

  1. Justifier que les applications nulle et identique de $E$ sont diagonalisables. Préciser une base de vecteurs propres.
  2. Montrer que $u\colon\K_{n}[X]\to\K_{n}[X],\; P\mapsto P-(X-1)P'$ est diagonalisable dans $\K$. Préciser les valeurs propres et les sous-espaces propres de $u$.

Théorème : Matrice diagonalisable

Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$. Les propositions suivantes sont équivalentes :

  • $\ds\dim(\mathcal{M}_{n,1}(\K))=\sum_{\lambda\in\mathrm{Sp}(A)}{\dim(E_{\lambda}(A))}$,
  • $\ds\mathcal{M}_{n,1}(\K)=\bigoplus_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}{E_{\lambda}(A)}$,
  • il existe une base de $\mathcal{M}_{n,1}(\K)$ constituée exclusivement de vecteurs propres de $A$.

Définition

On dit qu'une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ est diagonalisable dans $\K$ si et seulement si l'une des propositions précédentes est vérifiée.

Théorème : Lien endomorphisme-matrice

On suppose que $E$ est de dimension finie.
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Alors, $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$ est diagonalisable dans $\K$ si et seulement si $u$ l'est aussi.

Théorème : Matrices diagonalisables particulières

  • Une matrice diagonale est diagonalisable.
  • Une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable.
    Ce n'est pas nécessairement le cas si les coefficient diagonaux ne sont pas distincts.
  • Une matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable (cf chapitre suivant d'algèbre).
    Ce n'est pas nécessairement le cas si les coefficients sont complexes et non réels.
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