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Dérivée seconde directionnelle

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Théorème

Soit $A$ un point d'un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$, $\vv{u}$ un vecteur non nul de $\R^{n}$, $I$ un intervalle de $\R$ contenant 0 et tel que $\left\{ A+t\vv{u}\mid t\in I\right\} \subset\mathcal{O}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$. On pose :
$$\forall t\in I,\; g(t)=f(A+t\vv{u})$$

  • Si $f$ est continue sur $\mathcal{O}$ alors $g$ est continue sur $I$ (chemin sur la surface).
  • Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ alors $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$ et on a :
    $$\ds\forall t\in\R,\; g'(t)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A+t\vv{u})\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{\partial_{i}(f)(A+t\vv{u})u_{i}}$$En particulier :
    $$\ds g'(0)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A)\right\rangle = {}^tU\cdot\nabla f(A)$$
  • Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ alors $g$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $I$ et on a :
    $$\ds\forall t\in\R,\; g''(t)=q_{A+t\vv{u}}(\vv{u})=\sum_{i=1}^{n}{\partial_{i,i}^{2}(f)(A+t\vv{u})u_{i}^{2}}+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}{\partial_{i,j}^{2}(f)(A+t\vv{u})u_{i}u_{j}}$$En particulier :
    $$\ds g''(0)=q_{A}(\vv{u})={}^tU\cdot\nabla^{2}f(A)\cdot U$$

Définition

Dans le cas où $\vv{u}$ est un vecteur unitaire de $\R^{n}$, on appelle dérivée directionnelle de $f$ au point $A$ dans la direction de $\vv{u}$ le réel :
$$f_{\vv{u}}'(A)=g'(0)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A)\right\rangle ={}^tU\cdot\nabla f(A)$$et dérivée seconde directionnelle de $f$ au point $A$ dans la direction de $\vv{u}$ le réel :
$$f_{\vv{u}}''(A)=g''(0)=q_{A}(\vv{u})={}^tU\cdot\nabla^{2}f(A)\cdot U$$

Exemple (Égalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 1)

  1. Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$. Soit $A$ un point de $\mathcal{O}$ et $\vv{h}$ un vecteur de $\R^{n}$ tel que $[A,A+\vv{h}]\subset\mathcal{O}$. En appliquant l'égalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 1 à la fonction $g$ qui précède, montrer que :
    $$\ds\exists\theta\in\left]0,1\right[\;/\; f(A+\vv{h})=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{h}\right\rangle +\frac{1}{2}q_{A+\theta\vv{h}}\left(\vv{h}\right)$$
  2. Application : Montrer que $f\colon(x,y)\mapsto x^{2}+2xy+3y^{2}+x+1$ admet un unique point critique $A$ dont on précisera les coordonnées puis prouver qu'elle admet un minimum global sur $\R^{2}$ en ce point.
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