Preuve : théorème fondamental de la réduction des matrices

Supposons que $D$ est diagonale et $P$ est inversible telle que : $D=P^{-1}AP$. Alors : $PD=AP$. Pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, notons $C_{i}$ la matrice-colonne égale à la $i$-ème colonne de $P$ et $\lambda_{i}$ le $i$-ème coefficient de la diagonale de $D$. Alors, la $i$-ème colonne de $PD$ est $\lambda_{i}C_{i}$ et celle de $AP$ est $AC_{i}$. Par égalité matricielle, on a donc bien : $AC_{i}=\lambda C_{i}$.

Comme $\mathrm{tr}(UV)=\mathrm{tr}(VU)$ pour toutes matrices carrées $U$ et $V$ de $\mathcal{M}_{n}(\R)$, on a :
$$\ds\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(PDP^{-1})=\mathrm{tr}(P^{-1}PD)=\mathrm{tr}(D)=\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}}$$