Preuve : racine d'un polynôme annulateur et valeur propre

On sait que : $Q(u)=\Theta$. Soit $\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$. Soit $\vv{x}$ un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$. On a : $$\ds\vv{0_E}=Q(u)(\vv{x})=Q(\lambda)\cdot\vv{x}$$ Comme $\vv{x}\neq\vv{0_E}$, on en déduit que $Q(\lambda)=0$.
Un contre exemple de la réciproque: $\mathrm{Id}_{E}$ admet pour unique valeur propre le réel 1. Or $X(X-1)$ est un polynôme annulateur de $\mathrm{Id}_{E}$ admettant aussi 0 pour racine.

Comme $E$ est de dimension finie alors $u$ admet un polynôme annulateur $Q$ qui a au plus $\deg(Q)$ racines donc $u$ admet au plus $\deg(Q)$ valeurs propres.