Soit $x>0$. Alors $\Gamma(x)$ et $\Gamma(x+1)$ existent (les intégrales convergent). De plus, pour tout couple $(a,b)$ de réels strictement positifs et par intégration par parties, on a : $$\ds\int_{a}^{b}{t^{x}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t}=\left[t^{x}(-\mathrm{e}^{-t})\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{xt^{x-1}(-\mathrm{e}^{-t})\mathrm{d}t}=a^{x}\mathrm{e}^{-a}-b^{x}\mathrm{e}^{-b}+x\int_{a}^{b}{t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t}$$ Or, les intégrales convergent en la borne 0 et on a : $$\ds\lim_{a\to0}{a^{x}\mathrm{e}^{-a}}=0$$ donc, pour tout réel $b>0$, on a : $$\ds\int_{0}^{b}{t^{x}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t}=-b^{x}\mathrm{e}^{-b}+x\int_{0}^{b}{t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t}$$ Or, les intégrales convergent en la borne $+\infty$ et on a : $$\ds\lim_{b\to+\infty}{b^{x}\mathrm{e}^{-b}}=0$$ d'où le résultat : $$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$$
On effectue alors une récurrence. En utilisant la définition, on obtient immédiatement que : $$\ds\Gamma(1)=1=0!$$ La propriété précédente assure l'hérédité : $$\Gamma(n+1)=n!\;\implies\;\Gamma(n+2)=(n+1)\Gamma(n+1)=(n+1)n!=(n+1)!$$