Preuve : propriétés des tribus

Comme $\Omega\in\mathcal{A}$, par stabilité du complémentaire, on a :
$$\ds\varnothing\in\mathcal{A}$$

Soit $(A,B)\in\mathcal{A}^{2}$. On pose : $A_{0}=A$, $A_{1}=B$ et, pour tout entier $n\geqslant2$, $A_{n}=\varnothing$. Alors :
$$\ds A\cup B=\bigcup_{n\in\N}{A_{n}}\in\mathcal{A}$$On en déduit que :
$$\ds\bar{A}\in\mathcal{A},\quad\bar{B}\in\mathcal{A},\quad\bar{A}\cup\bar{B}\in\mathcal{A},\quad A\cap B=\overline{\bar{A}\cup\bar{B}}\in\mathcal{A}$$ $$\ds A\setminus B=A\cap\bar{B}\in\mathcal{A}$$

Soit $(A_{n})_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $\mathcal{A}$. On a :
$$\ds\bigcap_{n\in\N}{A_{n}}=\overline{\bigcup_{n\in\N}{\bar{A}_{n}}}\in\mathcal{A}$$