Soit $X$ une variable aléatoire discrète infinie positive et admettant une espérance.
Soit $a>0$. Comme $X$ admet une espérance, la série $\ds\sum_{k\geqslant a}{k\mathbb{P}(X=k)}$ converge et on a: $$\ds a\mathbb{P}(X\geqslant a)=\sum_{\substack{k\in\N\\k\geqslant a}}{a\mathbb{P}(X=k)}\leqslant\sum_{\substack{k\in\N\\k\geqslant a}}{k\mathbb{P}(X=k)}$$ Comme $X$ est à valeurs positives, on en déduit que : $$\ds a\mathbb{P}(X\geqslant a)\leqslant\sum_{k\in\N}{k\mathbb{P}(X=k)}=\mathbb{E}(X)$$
Soit $r>0$. Soit $X$ une variable aléatoire discrète infinie telle la variable aléatoire $|X|^{r}$ admet une espérance. On peut alors appliquer à $|X|^{r}$ l'inégalité de Markov puisqu'elle est positive et qu'elle admet une espérance : $$\ds\forall a\in\left]0,+\infty\right[,\;\mathbb{P}(X\geqslant a)=\mathbb{P}(|X|^{r}\geqslant a^{r})\leqslant\frac{\mathbb{E}(|X|^{r})}{a^{r}}$$
On applique cette dernière inégalité dans les cas $r=2$ et $X=\left|Y-\mathbb{E}(Y)\right|$ en remarquant que : $$\mathbb{E}(|Y-\mathbb{E}(Y)|^2)=\mathbb{E}((Y-\mathbb{E}(Y))^2)=\mathbb{V}(Y)$$