Soit $a\in I$. Alors, par relation de Chasles puis formule de la moyenne et théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel $x\in I\setminus\{a\}$ on a : $$\ds\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=\frac{1}{x-a}\int_{a}^{x}{f(t)\mathrm{d}t}=f(c_{a,x})$$ où $c_{a,x}\in\left]a,x\right[$ (ou bien $\left]x,a\right[$). Comme $c_{a,x}\xrightarrow[x\to a]{}a$ (par théorème d'encadrement) et comme $f$ est continue en $a$ alors : $$\ds\frac{F(x)-F(a)}{x-a}\xrightarrow[x\to a]{}f(a)$$ Ainsi, $F$ est dérivable en $a$ et $F'(a)=f(a)$.
On en déduit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.
Comme $F(a)=0$ (immédiat), on obtient le résultat annoncé.