Soit $\mathcal{H}(n)$ la proposition : pour tout $(x_{1},\dots,x_{n})\in I^{n}$, pour tout $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in[0,1]^{n}$ tel que $\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}=1$, on a $f(\lambda_{1}x_{1}+\dots+\lambda_{n}x_{n})\leqslant\lambda_{1}f(x_{1})+\dots+\lambda_{n}f(x_{n})$.
La proposition est trivialement vraie pour $n=1$ puisque $\lambda_{1}=1$.
La proposition est vraie pour $n=2$ par définition de la convexité.
Soit $n\geqslant1$ tel que la proposition $\mathcal{H}(n)$ est vraie. Soit $(x_{1},\dots,x_{n+1})\in I^{n+1}$ et soit $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n+1})\in[0,1]^{n+1}$ tel que $\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n+1}=1$.
Si $\lambda_{n+1}=1$ alors $\lambda_{1}=\dots=\lambda_{n}=0$ et l'inégalité est vérifiée.
Si $\lambda_{n+1}\ne1$ alors $\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}=1-\lambda_{n+1}\ne0$ et on a :
$$\begin{array}{rcl} f(\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{n}x_{n}+\lambda_{n+1}x_{n+1}) & = & \ds f\left((1-\lambda_{n+1})\left[\frac{\lambda_{1}}{1-\lambda_{n+1}}x_{1}+\dots+\frac{\lambda_{n}}{1-\lambda_{n+1}}x_{n}\right]+\lambda_{n+1}x_{n+1}\right) \\ & \leqslant & \ds (1-\lambda_{n+1})f\left(\frac{\lambda_{1}}{1-\lambda_{n+1}}x_{1}+\dots+\frac{\lambda_{n}}{1-\lambda_{n+1}}x_{n}\right)+\lambda_{n+1}f(x_{n+1}) \end{array}$$d'après la proposition $\mathcal{H}(2)$ (ou la convexité). Or :
$$\ds \frac{\lambda_{1}}{1-\lambda_{n+1}}+\dots+\frac{\lambda_{n}}{1-\lambda_{n+1}}=\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}}+\dots+\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}}=1$$(et tous les termes sont positifs) donc, d'après $\mathcal{H}(n)$, on a :
$$ \ds f\left(\frac{\lambda_{1}}{1-\lambda_{n+1}}x_{1}+\dots+\frac{\lambda_{n}}{1-\lambda_{n+1}}x_{n}\right)\leqslant\frac{\lambda_{1}}{1-\lambda_{n+1}}f(x_{1})+\dots+\frac{\lambda_{n}}{1-\lambda_{n+1}}f(x_{n})$$d'où l'on tire que :
$$\begin{array}{rcl} \ds f(\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{n}x_{n}+\lambda_{n+1}x_{n+1}) & \leqslant & \ds (1-\lambda_{n+1})\left[\frac{\lambda_{1}}{1-\lambda_{n+1}}f(x_{1})+\dots+\frac{\lambda_{n}}{1-\lambda_{n+1}}f(x_{n})\right]+\lambda_{n+1}f(x_{n+1}) \\ & \leqslant & \ds \lambda_{1}f(x_{1})+\dots+\lambda_{n}f(x_{n})+\lambda_{n+1}f(x_{n+1}) \end{array}$$donc la proposition $\mathcal{H}(n+1)$ est vraie.