Comme $X$ et $Y$ admettent une variance alors elles admettent une espérance et un moment d'ordre 2. Ainsi l'existence de la covariance du couple $(X,Y)$ est équivalente à l'existence de l'espérance de la variable aléatoire $XY$. Or : $$\begin{array}{rcl}\ds\pr\left(\left(\left|X\right|-\left|Y\right|\right)^{2}\geqslant0\right)=1 & \iff & \ds\pr\left(\left|X\right|^{2}+\left|Y\right|^{2}-2\left|XY\right|\geqslant0\right)=1 \\ & \iff & \ds\pr\left(\left|XY\right|\leqslant\frac{1}{2}X^{2}+\frac{1}{2}Y^{2}\right)=1 \end{array}$$ Comme $X^{2}$ et $Y^{2}$ admettent une espérance alors, par linéarité, $\ds\frac{1}{2}X^{2}+\frac{1}{2}Y^{2}$ admet une espérance et, par domination, on en déduit que la variable aléatoire $XY$ admet une espérance ce qui entraîne l'existence de la covariance du couple $\left(X,Y\right)$.