Preuve : conséquences du caractère diagonalisable

Puisque $u$ est diagonalisable alors il existe une base de $E$ constituée exclusivement de vecteur propres de $u$. La matrice de $u$ dans cette base est alors, de manière évidente, diagonale et ses coefficients diagonaux sont les valeurs propres de $u$, positionnées dans les même ordre que les vecteurs propres dans la base choisie.

Comme $u$ admet exactement $n$ valeurs propres deux à deux distinctes alors on a au minimum $n$ vecteurs propres formant une famille libre puisque provenant de sous-espaces propres distincts donc en somme directe. Comme $E$ est de dimension $n$, cette famille libre de vecteurs propres est donc une base de $E$ ce qui implique que $u$ est diagonalisable. De plus, chaque sous-espace propre étant de dimension au moins 1 et leur somme étant directe, il n'y a pas de « place » pour d'autres dimensions.