Preuve : inégalité de Cauchy-Schwarz

Si $\mathbb{V}(X)=0$ alors $X$ est une variable certaine et alors $\mathrm{Cov}(X,Y)=0=\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)$ donc l'inégalité est vérifiée.

Si $\mathbb{V}(X)\ne0$ alors, pour tout réel $t$, on a :
$$\ds0\leqslant\mathbb{V}(tX+Y)=\mathrm{Cov}(tX+Y,tX+Y)=t^{2}\mathbb{V}(X)+2t\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathbb{V}(Y)$$La fonction du second degré en la variable réelle $t$ admet donc un discriminant négatif ou nul :
$$\ds 4\mathrm{Cov}(X,Y)^{2}-4\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)\leqslant0$$d'où le résultat attendu.

En cas d'égalité, si $\mathbb{V}(X)\ne0$, le discriminant est nul donc l'équation (d'inconnue $t\in\R$) $\mathbb{V}(tX+Y)=0$ admet une unique solution dans $\R$ : $\ds t_{0}=-\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\mathbb{V}(X)}=-\alpha\frac{\sigma(Y)}{\sigma(X)}$ (cette dernière égalité provient de l'égalité de Cauchy-Schwarz, avec $\alpha=1$ si $\cov(X,Y)>0$, $\alpha=0$ si $\cov(X,Y)=0$ et $\alpha=-1$ sinon). Alors : $$\begin{array}{rcl} \V(t_{0}X+Y)=0 & \iff & \ds\pr\left(t_{0}X+Y=\E(t_{0}X+Y)\right)=1 \\ & \iff & \ds\pr\left(Y-\E(Y)=-t_{0}(X-\E(X))\right)=1 \\ & \iff & \ds\pr\left(Y-\E(Y)=\alpha\frac{\sigma(Y)}{\sigma(X)}(X-\E(X))\right)=1 \\ & \iff & \ds\pr\left(\frac{Y-\E(Y)}{\sigma(Y)}=\alpha\frac{X-\E(X)}{\sigma(X)}\right)=1 \\ & \iff & \ds\pr\left(Y^{*}=\alpha X^{*}\right)=1 \end{array}$$ ou encore $$\begin{array}{rcl} \V(t_{0}X+Y)=0 & \iff & \ds\pr\left(t_{0}X+Y=\E(t_{0}X+Y)\right)=1 \\ & \iff & \ds\pr\left(Y-\E(Y)=-t_{0}(X-\E(X))\right)=1 \\ & \iff & \ds\pr\left(Y-\E(Y)=\frac{\cov(X,Y)}{\V(X)}(X-\E(X))\right)=1 \\ & \iff & \ds\pr\left(Y=\frac{\cov(X,Y)}{\V(X)}(X-\E(X))+\E(Y)\right)=1 \\ & \iff & \ds\pr\left(Y=\frac{\cov(X,Y)}{\V(X)}X+\frac{\E(Y)\V(X)-\E(X)\cov(X,Y)}{\V(X)}\right)=1 \end{array}$$